Номер 483, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 483, страница 85.

Условие.

483. Докажите, что выражение $3x^2(3 - 4x) - 6x(1,5x - 2x^2 + x^3)$ принимает неположительные значения при всех значениях x.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает неположительные значения, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $3x^2(3-4x) - 6x(1,5x - 2x^2 + x^3)$.

1. Раскроем первую скобку, умножив $3x^2$ на каждый член в скобках:

$3x^2 \cdot 3 - 3x^2 \cdot 4x = 9x^2 - 12x^3$

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-6x$ на каждый член в скобках:

$-6x \cdot 1,5x - 6x \cdot (-2x^2) - 6x \cdot x^3 = -9x^2 + 12x^3 - 6x^4$

3. Теперь сложим результаты и приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 12x^3) + (-9x^2 + 12x^3 - 6x^4) = 9x^2 - 12x^3 - 9x^2 + 12x^3 - 6x^4$

Сгруппируем подобные члены:

$(9x^2 - 9x^2) + (-12x^3 + 12x^3) - 6x^4 = 0 + 0 - 6x^4 = -6x^4$

В результате упрощения мы получили выражение $-6x^4$.

4. Проанализируем знак полученного выражения.

Выражение $x^4$ представляет собой переменную $x$, возведенную в четную степень (4). Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Математически это записывается как $x^4 \ge 0$ для любого $x$.

• Если $x \neq 0$, то $x^4 > 0$. При умножении положительного числа $x^4$ на отрицательное число $-6$, результат будет отрицательным: $-6x^4 < 0$.
• Если $x = 0$, то $x^4 = 0^4 = 0$. В этом случае выражение равно $-6 \cdot 0 = 0$.

Объединяя оба случая, мы видим, что выражение $-6x^4$ всегда меньше или равно нулю ($-6x^4 \le 0$). Значения, которые меньше или равны нулю, называются неположительными.

Следовательно, исходное выражение, которое тождественно равно $-6x^4$, принимает неположительные значения при всех значениях $x$.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $-6x^4$. Так как $x^4 \ge 0$ при любых значениях $x$, то произведение $-6x^4$ всегда будет меньше или равно нулю. Таким образом, доказано, что выражение принимает неположительные значения при всех значениях $x$.