Номер 479, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 479, страница 85.

Условие.

479. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $*\cdot (a - b + c) = -abc + b^2c - bc^2$;

2) $*\cdot (ab - b^2) = a^3b - a^2b^2$;

3) $-3a^2(* - *) = 6a^3 + 15a^4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Пусть искомый одночлен, который нужно поставить вместо звёздочки, равен $X$. Тогда исходное равенство можно записать в виде тождества: $X \cdot (a - b + c) = -abc + b^2c - bc^2$. Чтобы найти неизвестный множитель $X$, нужно разделить произведение (правую часть) на известный множитель (выражение в скобках): $X = \frac{-abc + b^2c - bc^2}{a - b + c}$. Для упрощения дроби разложим числитель на множители, вынеся за скобки общий множитель $-bc$: $-abc + b^2c - bc^2 = -bc(a) - bc(-b) - bc(c) = -bc(a - b + c)$. Теперь подставим это выражение обратно в формулу для $X$: $X = \frac{-bc(a - b + c)}{a - b + c}$. Сократив дробь на общий множитель $(a - b + c)$, получим: $X = -bc$. Проверим, подставив найденный одночлен в исходное выражение: $-bc \cdot (a - b + c) = (-bc) \cdot a - (-bc) \cdot b + (-bc) \cdot c = -abc + b^2c - bc^2$. Равенство верно.
Ответ: $-bc$.

2) Обозначим неизвестный одночлен через $X$. Тождество примет вид: $X \cdot (ab - b^2) = a^3b - a^2b^2$. Чтобы найти $X$, разделим правую часть тождества на левый множитель в скобках: $X = \frac{a^3b - a^2b^2}{ab - b^2}$. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^2b$: $a^3b - a^2b^2 = a^2b(a - b)$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$: $ab - b^2 = b(a - b)$. Подставим разложенные выражения в формулу для $X$: $X = \frac{a^2b(a - b)}{b(a - b)}$. Сократим дробь на общий множитель $b(a - b)$: $X = a^2$. Проверим полученный результат: $a^2 \cdot (ab - b^2) = a^2 \cdot ab - a^2 \cdot b^2 = a^3b - a^2b^2$. Равенство верно.
Ответ: $a^2$.

3) Исходное тождество: $-3a^2(* - *) = 6a^3 + 15a^4$. В данном случае нам нужно найти два одночлена. Обозначим выражение в скобках как $M = (* - *)$. Тогда уравнение можно переписать так: $-3a^2 \cdot M = 6a^3 + 15a^4$. Найдем $M$, разделив правую часть на $-3a^2$: $M = \frac{6a^3 + 15a^4}{-3a^2}$. Разделим почленно числитель на знаменатель: $M = \frac{6a^3}{-3a^2} + \frac{15a^4}{-3a^2} = -2a - 5a^2$. Итак, выражение в скобках равно $-2a - 5a^2$. Нам нужно представить его в виде разности двух одночленов, чтобы заполнить звёздочки в выражении $(* - *)$. Представим $-2a - 5a^2$ как разность: $(-2a) - (5a^2)$. Следовательно, первая звёздочка — это одночлен $-2a$, а вторая — $5a^2$. Подставим их в исходное тождество для проверки: $-3a^2(-2a - 5a^2) = (-3a^2)(-2a) - (-3a^2)(5a^2) = 6a^3 + 15a^4$. Равенство выполняется.
Ответ: первая звёздочка: $-2a$, вторая звёздочка: $5a^2$.