Номер 472, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 472, страница 84.

Условие.

472. Упростите выражение:

1) $15a \cdot \frac{a+4}{3} + 12a^2 \cdot \frac{5-2a}{6};$

2) $24c^3 \cdot \frac{c^2 + 2c - 3}{8} - 18c^2 \cdot \frac{c^3 - c^2 + 2}{9};$

3) $34x \cdot \frac{x - y}{17} - 45y \cdot \frac{x - 2y}{15} - y(6y - 5x).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $15a \cdot \frac{a+4}{3} + 12a^2 \cdot \frac{5-2a}{6}$

Чтобы упростить данное выражение, сначала выполним сокращение дробей в каждом слагаемом. В первом слагаемом сократим 15 и 3, а во втором — 12 и 6:

$\frac{15a}{3} \cdot (a+4) + \frac{12a^2}{6} \cdot (5-2a) = 5a(a+4) + 2a^2(5-2a)$

Теперь раскроем скобки, умножив множители перед ними на каждый член в скобках:

$5a \cdot a + 5a \cdot 4 + 2a^2 \cdot 5 - 2a^2 \cdot 2a = 5a^2 + 20a + 10a^2 - 4a^3$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $a$ и выполним сложение:

$-4a^3 + (5a^2 + 10a^2) + 20a = -4a^3 + 15a^2 + 20a$

Ответ: $-4a^3 + 15a^2 + 20a$

2) $24c^3 \cdot \frac{c^2+2c-3}{8} - 18c^2 \cdot \frac{c^3-c^2+2}{9}$

Аналогично первому примеру, сократим дроби. В первом члене сократим 24 и 8, а во втором — 18 и 9:

$\frac{24c^3}{8} \cdot (c^2+2c-3) - \frac{18c^2}{9} \cdot (c^3-c^2+2) = 3c^3(c^2+2c-3) - 2c^2(c^3-c^2+2)$

Раскроем скобки в каждом члене выражения:

$(3c^3 \cdot c^2 + 3c^3 \cdot 2c - 3c^3 \cdot 3) - (2c^2 \cdot c^3 - 2c^2 \cdot c^2 + 2c^2 \cdot 2) = (3c^5 + 6c^4 - 9c^3) - (2c^5 - 2c^4 + 4c^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$3c^5 + 6c^4 - 9c^3 - 2c^5 + 2c^4 - 4c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3c^5 - 2c^5) + (6c^4 + 2c^4) - 9c^3 - 4c^2 = c^5 + 8c^4 - 9c^3 - 4c^2$

Ответ: $c^5 + 8c^4 - 9c^3 - 4c^2$

3) $34x \cdot \frac{x-y}{17} - 45y \cdot \frac{x-2y}{15} - y(6y-5x)$

Сначала упростим первые два члена, сократив числовые коэффициенты:

$\frac{34x}{17} \cdot (x-y) - \frac{45y}{15} \cdot (x-2y) - y(6y-5x) = 2x(x-y) - 3y(x-2y) - y(6y-5x)$

Теперь раскроем все скобки:

$(2x \cdot x - 2x \cdot y) - (3y \cdot x - 3y \cdot 2y) - (y \cdot 6y - y \cdot 5x) = (2x^2 - 2xy) - (3xy - 6y^2) - (6y^2 - 5xy)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$2x^2 - 2xy - 3xy + 6y^2 - 6y^2 + 5xy$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $xy$ и с $y^2$:

$2x^2 + (-2xy - 3xy + 5xy) + (6y^2 - 6y^2) = 2x^2 - 5xy + 5xy + 0 = 2x^2$

Ответ: $2x^2$