Номер 468, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 468, страница 83.

Условие.

468. Докажите тождество:

1) $ab(b - c) + ac(c - b) - a(b^2 - 3bc + c^2) = abc;$

2) $4a(a + b) - a(3a - 4b) - 8ab = a^2;$

3) $a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b);$

4) $a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = (a - b)c.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для доказательства тождества $ab(b - c) + ac(c - b) - a(b^2 - 3bc + c^2) = abc$ преобразуем его левую часть.
Раскроем скобки в каждом слагаемом:
$ab(b - c) = ab^2 - abc$
$ac(c - b) = ac^2 - abc$
$-a(b^2 - 3bc + c^2) = -ab^2 + 3abc - ac^2$
Теперь сложим полученные выражения:
$ab^2 - abc + ac^2 - abc - ab^2 + 3abc - ac^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(ab^2 - ab^2) + (ac^2 - ac^2) + (-abc - abc + 3abc) = 0 + 0 + abc = abc$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества: $abc = abc$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $4a(a + b) - a(3a - 4b) - 8ab = a^2$ преобразуем его левую часть.
Раскроем скобки:
$4a(a + b) = 4a^2 + 4ab$
$-a(3a - 4b) = -3a^2 + 4ab$
Подставим раскрытые скобки в выражение и приведем подобные слагаемые:
$4a^2 + 4ab - 3a^2 + 4ab - 8ab = (4a^2 - 3a^2) + (4ab + 4ab - 8ab) = a^2 + 8ab - 8ab = a^2$
В результате преобразования левой части мы получили правую часть тождества: $a^2 = a^2$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b)$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть:
$a(a + 2b) + b(a + b) = a^2 + 2ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + ab + b^2 = a^2 + 3ab + b^2$
Преобразуем правую часть:
$b(2a + b) + a(a + b) = 2ba + b^2 + a^2 + ab = 2ab + b^2 + a^2 + ab = a^2 + 3ab + b^2$
Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению: $a^2 + 3ab + b^2 = a^2 + 3ab + b^2$.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = (a - b)c$ преобразуем обе его части.
Преобразуем левую часть, раскрыв скобки:
$a(b + c - bc) - b(a + c - ac) = ab + ac - abc - (ba + bc - bac) = ab + ac - abc - ab - bc + abc$
Приведем подобные слагаемые:
$(ab - ab) + (ac - bc) + (-abc + abc) = 0 + ac - bc + 0 = ac - bc$
Теперь преобразуем правую часть:
$(a - b)c = ac - bc$
Левая и правая части тождества равны: $ac - bc = ac - bc$.
Ответ: Тождество доказано.