Номер 463, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 463, страница 83.

Условие.

463. Упростите выражение:

1) $7x(x - 4) - x(6 - x);$

2) $5ab(4a + 3b) - 10a^2(2b - 4);$

3) $xy(2x - 11y) - x(xy + 14y^2);$

4) $5c^3(4c - 3) - 2c^2(8c^2 - 12).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для упрощения выражения $7x(x - 4) - x(6 - x)$ необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $a(b \pm c) = ab \pm ac$:
$7x(x - 4) = 7x \cdot x - 7x \cdot 4 = 7x^2 - 28x$
$-x(6 - x) = -x \cdot 6 - x \cdot (-x) = -6x + x^2$
Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:
$7x^2 - 28x - 6x + x^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):
$(7x^2 + x^2) + (-28x - 6x)$
Выполним сложение в каждой группе:
$8x^2 - 34x$
Ответ: $8x^2 - 34x$

2) Для упрощения выражения $5ab(4a + 3b) - 10a^2(2b - 4)$ раскроем скобки в каждом из двух слагаемых.
Для первого слагаемого:
$5ab(4a + 3b) = 5ab \cdot 4a + 5ab \cdot 3b = 20a^2b + 15ab^2$
Для второго слагаемого (обращаем внимание на знак "минус" перед ним):
$-10a^2(2b - 4) = -10a^2 \cdot 2b - 10a^2 \cdot (-4) = -20a^2b + 40a^2$
Теперь сложим полученные результаты:
$20a^2b + 15ab^2 - 20a^2b + 40a^2$
Приведем подобные слагаемые. Члены $20a^2b$ и $-20a^2b$ являются противоположными и в сумме дают ноль, поэтому они взаимно уничтожаются.
$(20a^2b - 20a^2b) + 15ab^2 + 40a^2 = 0 + 15ab^2 + 40a^2$
Итоговое упрощенное выражение:
$15ab^2 + 40a^2$
Ответ: $15ab^2 + 40a^2$

3) Для упрощения выражения $xy(2x - 11y) - x(xy + 14y^2)$ последовательно раскроем скобки.
$xy(2x - 11y) = xy \cdot 2x - xy \cdot 11y = 2x^2y - 11xy^2$
$-x(xy + 14y^2) = -x \cdot xy - x \cdot 14y^2 = -x^2y - 14xy^2$
Объединим все члены вместе:
$2x^2y - 11xy^2 - x^2y - 14xy^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Отдельно сгруппируем члены, содержащие $x^2y$, и члены, содержащие $xy^2$.
$(2x^2y - x^2y) + (-11xy^2 - 14xy^2)$
Выполним действия в каждой группе:
$x^2y - 25xy^2$
Ответ: $x^2y - 25xy^2$

4) Для упрощения выражения $5c^3(4c - 3) - 2c^2(8c^2 - 12)$ раскроем скобки.
$5c^3(4c - 3) = 5c^3 \cdot 4c - 5c^3 \cdot 3 = 20c^4 - 15c^3$
$-2c^2(8c^2 - 12) = -2c^2 \cdot 8c^2 - 2c^2 \cdot (-12) = -16c^4 + 24c^2$
Теперь запишем все члены вместе и приведем подобные:
$20c^4 - 15c^3 - 16c^4 + 24c^2$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями переменной $c$:
$(20c^4 - 16c^4) - 15c^3 + 24c^2$
Выполним вычитание для членов с $c^4$:
$4c^4 - 15c^3 + 24c^2$
Ответ: $4c^4 - 15c^3 + 24c^2$