Номер 469, страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 469, страница 84.

Условие.

469. Докажите тождество:

1) $a(a+b)-b(a-b)=a^2+b^2;$

2) $b(a-b)+b(b+c)=b(a+b)-b(b-c).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать тождество $a(a + b) - b(a - b) = a^2 + b^2$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения (умножим множитель перед скобкой на каждый член в скобках).

$a(a + b) - b(a - b) = (a \cdot a + a \cdot b) - (b \cdot a - b \cdot b) = a^2 + ab - (ab - b^2)$.

Далее раскроем скобки, перед которыми стоит знак "минус", изменив знаки всех членов внутри на противоположные:

$a^2 + ab - ab + b^2$.

Приведем подобные слагаемые: $ab$ и $-ab$ в сумме дают ноль, то есть взаимно уничтожаются. В результате получаем:

$a^2 + b^2$.

Таким образом, левая часть тождества после преобразований стала равна правой части: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано.

Ответ: $a(a+b) - b(a-b) = a^2 + ab - ab + b^2 = a^2 + b^2$.

2) Чтобы доказать тождество $b(a - b) + b(b + c) = b(a + b) - b(b - c)$, преобразуем отдельно его левую и правую части и сравним полученные выражения.

Преобразуем левую часть, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$b(a - b) + b(b + c) = (b \cdot a - b \cdot b) + (b \cdot b + b \cdot c) = ab - b^2 + b^2 + bc = ab + bc$.

Теперь преобразуем правую часть, также раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$b(a + b) - b(b - c) = (b \cdot a + b \cdot b) - (b \cdot b - b \cdot c) = ab + b^2 - (b^2 - bc) = ab + b^2 - b^2 + bc = ab + bc$.

Поскольку в результате преобразований и левая, и правая части оказались равны одному и тому же выражению $ab + bc$, тождество доказано.

Ответ: Левая часть: $b(a-b)+b(b+c) = ab-b^2+b^2+bc = ab+bc$. Правая часть: $b(a+b)-b(b-c) = ab+b^2-b^2+bc = ab+bc$. Так как обе части равны $ab+bc$, тождество верно.