Страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

469. Докажите тождество:

1) $a(a+b)-b(a-b)=a^2+b^2;$

2) $b(a-b)+b(b+c)=b(a+b)-b(b-c).$

1) Чтобы доказать тождество $a(a + b) - b(a - b) = a^2 + b^2$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения (умножим множитель перед скобкой на каждый член в скобках).

$a(a + b) - b(a - b) = (a \cdot a + a \cdot b) - (b \cdot a - b \cdot b) = a^2 + ab - (ab - b^2)$.

Далее раскроем скобки, перед которыми стоит знак "минус", изменив знаки всех членов внутри на противоположные:

$a^2 + ab - ab + b^2$.

Приведем подобные слагаемые: $ab$ и $-ab$ в сумме дают ноль, то есть взаимно уничтожаются. В результате получаем:

$a^2 + b^2$.

Таким образом, левая часть тождества после преобразований стала равна правой части: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$. Тождество доказано.

Ответ: $a(a+b) - b(a-b) = a^2 + ab - ab + b^2 = a^2 + b^2$.

2) Чтобы доказать тождество $b(a - b) + b(b + c) = b(a + b) - b(b - c)$, преобразуем отдельно его левую и правую части и сравним полученные выражения.

Преобразуем левую часть, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$b(a - b) + b(b + c) = (b \cdot a - b \cdot b) + (b \cdot b + b \cdot c) = ab - b^2 + b^2 + bc = ab + bc$.

Теперь преобразуем правую часть, также раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$b(a + b) - b(b - c) = (b \cdot a + b \cdot b) - (b \cdot b - b \cdot c) = ab + b^2 - (b^2 - bc) = ab + b^2 - b^2 + bc = ab + bc$.

Поскольку в результате преобразований и левая, и правая части оказались равны одному и тому же выражению $ab + bc$, тождество доказано.

Ответ: Левая часть: $b(a-b)+b(b+c) = ab-b^2+b^2+bc = ab+bc$. Правая часть: $b(a+b)-b(b-c) = ab+b^2-b^2+bc = ab+bc$. Так как обе части равны $ab+bc$, тождество верно.

470. Докажите, что значение выражения

$x(12x + 11) - x^2(x^2 + 8) - x(11 + 4x - x^3)$

не зависит от значения переменной.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо его упростить. Если в результате упрощения переменная $x$ сократится, и останется только число (константа), то это будет означать, что значение выражения не зависит от $x$.

Упростим данное выражение: $x(12x + 11) - x^2(x^2 + 8) - x(11 + 4x - x^3)$.

1. Раскроем скобки.

Для этого умножим множитель перед каждой скобкой на все слагаемые внутри нее:

$x(12x + 11) = 12x^2 + 11x$

$-x^2(x^2 + 8) = -x^4 - 8x^2$

$-x(11 + 4x - x^3) = -11x - 4x^2 + x^4$

Теперь запишем все выражение как сумму полученных одночленов:

$12x^2 + 11x - x^4 - 8x^2 - 11x - 4x^2 + x^4$

2. Приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем слагаемые с одинаковой степенью переменной $x$:

$(-x^4 + x^4) + (12x^2 - 8x^2 - 4x^2) + (11x - 11x)$

Выполним вычисления в каждой группе:

Слагаемые с $x^4$: $-x^4 + x^4 = 0$.

Слагаемые с $x^2$: $12x^2 - 8x^2 - 4x^2 = (12-8-4)x^2 = 0 \cdot x^2 = 0$.

Слагаемые с $x$: $11x - 11x = 0$.

Суммируя результаты, получаем:

$0 + 0 + 0 = 0$

В результате упрощения мы получили 0. Так как это значение является константой и не содержит переменную $x$, значение исходного выражения не зависит от значения переменной. Что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно 0, следовательно, оно не зависит от значения переменной.

471. Докажите, что значение выражения

$6x(x - 3) - 9(\frac{2}{3}x^2 - 2x + 7)$

не зависит от значения переменной.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо это выражение упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную, сократятся, и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

Упростим данное выражение: $6x(x-3) - 9(\frac{2}{3}x^2 - 2x + 7)$.

Сначала раскроем скобки. Для этого умножим одночлен на многочлен в первой части выражения и число на многочлен во второй части.

1. Раскроем первую скобку:

$6x(x-3) = 6x \cdot x + 6x \cdot (-3) = 6x^2 - 18x$

2. Раскроем вторую скобку:

$-9(\frac{2}{3}x^2 - 2x + 7) = -9 \cdot \frac{2}{3}x^2 - 9 \cdot (-2x) - 9 \cdot 7$

Выполним умножение:

$-\frac{9 \cdot 2}{3}x^2 + 18x - 63 = -\frac{18}{3}x^2 + 18x - 63 = -6x^2 + 18x - 63$

3. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 18x) + (-6x^2 + 18x - 63) = 6x^2 - 18x - 6x^2 + 18x - 63$

Сгруппируем подобные члены:

$(6x^2 - 6x^2) + (-18x + 18x) - 63$

Выполним вычисления:

$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 63 = 0 + 0 - 63 = -63$

После упрощения мы получили число $-63$. Так как в итоговом выражении отсутствует переменная $x$, его значение не зависит от того, какое число подставить вместо $x$. Оно всегда будет равно $-63$.

Ответ: значение выражения равно $-63$, оно является константой и не зависит от значения переменной, что и требовалось доказать.

472. Упростите выражение:

1) $15a \cdot \frac{a+4}{3} + 12a^2 \cdot \frac{5-2a}{6};$

2) $24c^3 \cdot \frac{c^2 + 2c - 3}{8} - 18c^2 \cdot \frac{c^3 - c^2 + 2}{9};$

3) $34x \cdot \frac{x - y}{17} - 45y \cdot \frac{x - 2y}{15} - y(6y - 5x).$

1) $15a \cdot \frac{a+4}{3} + 12a^2 \cdot \frac{5-2a}{6}$

Чтобы упростить данное выражение, сначала выполним сокращение дробей в каждом слагаемом. В первом слагаемом сократим 15 и 3, а во втором — 12 и 6:

$\frac{15a}{3} \cdot (a+4) + \frac{12a^2}{6} \cdot (5-2a) = 5a(a+4) + 2a^2(5-2a)$

Теперь раскроем скобки, умножив множители перед ними на каждый член в скобках:

$5a \cdot a + 5a \cdot 4 + 2a^2 \cdot 5 - 2a^2 \cdot 2a = 5a^2 + 20a + 10a^2 - 4a^3$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $a$ и выполним сложение:

$-4a^3 + (5a^2 + 10a^2) + 20a = -4a^3 + 15a^2 + 20a$

Ответ: $-4a^3 + 15a^2 + 20a$

2) $24c^3 \cdot \frac{c^2+2c-3}{8} - 18c^2 \cdot \frac{c^3-c^2+2}{9}$

Аналогично первому примеру, сократим дроби. В первом члене сократим 24 и 8, а во втором — 18 и 9:

$\frac{24c^3}{8} \cdot (c^2+2c-3) - \frac{18c^2}{9} \cdot (c^3-c^2+2) = 3c^3(c^2+2c-3) - 2c^2(c^3-c^2+2)$

Раскроем скобки в каждом члене выражения:

$(3c^3 \cdot c^2 + 3c^3 \cdot 2c - 3c^3 \cdot 3) - (2c^2 \cdot c^3 - 2c^2 \cdot c^2 + 2c^2 \cdot 2) = (3c^5 + 6c^4 - 9c^3) - (2c^5 - 2c^4 + 4c^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$3c^5 + 6c^4 - 9c^3 - 2c^5 + 2c^4 - 4c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3c^5 - 2c^5) + (6c^4 + 2c^4) - 9c^3 - 4c^2 = c^5 + 8c^4 - 9c^3 - 4c^2$

Ответ: $c^5 + 8c^4 - 9c^3 - 4c^2$

3) $34x \cdot \frac{x-y}{17} - 45y \cdot \frac{x-2y}{15} - y(6y-5x)$

Сначала упростим первые два члена, сократив числовые коэффициенты:

$\frac{34x}{17} \cdot (x-y) - \frac{45y}{15} \cdot (x-2y) - y(6y-5x) = 2x(x-y) - 3y(x-2y) - y(6y-5x)$

Теперь раскроем все скобки:

$(2x \cdot x - 2x \cdot y) - (3y \cdot x - 3y \cdot 2y) - (y \cdot 6y - y \cdot 5x) = (2x^2 - 2xy) - (3xy - 6y^2) - (6y^2 - 5xy)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$2x^2 - 2xy - 3xy + 6y^2 - 6y^2 + 5xy$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $xy$ и с $y^2$:

$2x^2 + (-2xy - 3xy + 5xy) + (6y^2 - 6y^2) = 2x^2 - 5xy + 5xy + 0 = 2x^2$

Ответ: $2x^2$

473. Упростите выражение:

1) $6b^2 \cdot \frac{5b^2 - 4}{3} + 20b \cdot \frac{3b - 2b^3}{4};$

2) $14m \cdot \frac{m+n}{7} - \frac{m-n}{8} \cdot 16n - 2(m^2+n^2).$

1) Упростим выражение $6b^2 \cdot \frac{5b^2 - 4}{3} + 20b \cdot \frac{3b - 2b^3}{4}$ по частям.

Сначала упростим первое слагаемое. Сократим множитель $6b^2$ и знаменатель $3$ на $3$:

$6b^2 \cdot \frac{5b^2 - 4}{3} = \frac{6}{3} \cdot b^2 \cdot (5b^2 - 4) = 2b^2 \cdot (5b^2 - 4)$

Теперь раскроем скобки, умножив $2b^2$ на каждый член внутри скобок:

$2b^2 \cdot 5b^2 - 2b^2 \cdot 4 = 10b^4 - 8b^2$

Далее упростим второе слагаемое. Сократим множитель $20b$ и знаменатель $4$ на $4$:

$20b \cdot \frac{3b - 2b^3}{4} = \frac{20}{4} \cdot b \cdot (3b - 2b^3) = 5b \cdot (3b - 2b^3)$

Раскроем скобки, умножив $5b$ на каждый член внутри скобок:

$5b \cdot 3b - 5b \cdot 2b^3 = 15b^2 - 10b^4$

Теперь сложим полученные результаты:

$(10b^4 - 8b^2) + (15b^2 - 10b^4)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10b^4 - 10b^4) + (-8b^2 + 15b^2) = 0 + 7b^2 = 7b^2$

Ответ: $7b^2$

2) Упростим выражение $14m \cdot \frac{m+n}{7} - \frac{m-n}{8} \cdot 16n - 2(m^2 + n^2)$ по частям.

Упростим первый член выражения. Сократим множитель $14m$ и знаменатель $7$ на $7$:

$14m \cdot \frac{m+n}{7} = \frac{14}{7} \cdot m \cdot (m+n) = 2m(m+n)$

Раскроем скобки:

$2m \cdot m + 2m \cdot n = 2m^2 + 2mn$

Упростим второй член выражения. Сократим множитель $16n$ и знаменатель $8$ на $8$:

$- \frac{m-n}{8} \cdot 16n = -(m-n) \cdot \frac{16}{8} \cdot n = -2n(m-n)$

Раскроем скобки (обращая внимание на знак минус перед произведением):

$-2n \cdot m - (-2n \cdot n) = -2mn + 2n^2$

Раскроем скобки в третьем члене выражения:

$-2(m^2 + n^2) = -2m^2 - 2n^2$

Теперь сложим все полученные части:

$(2m^2 + 2mn) + (-2mn + 2n^2) + (-2m^2 - 2n^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2m^2 - 2m^2) + (2mn - 2mn) + (2n^2 - 2n^2) = 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

474. Решите уравнение:

1) $\frac{x-7}{4} - \frac{x}{6} = 2;$

2) $\frac{x+6}{2} - \frac{x-7}{7} = 4;$

3) $\frac{2x+3}{6} + \frac{1-4x}{8} = \frac{1}{3};$

4) $3x - \frac{2x+3}{2} = \frac{x+6}{3}.$

1) $\frac{x-7}{4} - \frac{x}{6} = 2$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12.

$12 \cdot (\frac{x-7}{4} - \frac{x}{6}) = 12 \cdot 2$

$12 \cdot \frac{x-7}{4} - 12 \cdot \frac{x}{6} = 24$

$3(x-7) - 2x = 24$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x - 21 - 2x = 24$

$x - 21 = 24$

Перенесем -21 в правую часть с противоположным знаком:

$x = 24 + 21$

$x = 45$

Ответ: $x = 45$.

2) $\frac{x+6}{2} - \frac{x-7}{7} = 4$

Умножим обе части уравнения на НОК знаменателей 2 и 7, то есть на 14.

$14 \cdot (\frac{x+6}{2} - \frac{x-7}{7}) = 14 \cdot 4$

$14 \cdot \frac{x+6}{2} - 14 \cdot \frac{x-7}{7} = 56$

$7(x+6) - 2(x-7) = 56$

Раскроем скобки. Обращаем внимание на знак минус перед второй дробью.

$7x + 42 - 2x + 14 = 56$

Приведем подобные слагаемые:

$5x + 56 = 56$

Перенесем 56 в правую часть:

$5x = 56 - 56$

$5x = 0$

$x = \frac{0}{5}$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

3) $\frac{2x+3}{6} + \frac{1-4x}{8} = \frac{1}{3}$

Найдем НОК знаменателей 6, 8 и 3. НОК(6, 8, 3) = 24. Умножим обе части уравнения на 24.

$24 \cdot (\frac{2x+3}{6} + \frac{1-4x}{8}) = 24 \cdot \frac{1}{3}$

$24 \cdot \frac{2x+3}{6} + 24 \cdot \frac{1-4x}{8} = 8$

$4(2x+3) + 3(1-4x) = 8$

Раскроем скобки:

$8x + 12 + 3 - 12x = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x + 15 = 8$

Перенесем 15 в правую часть:

$-4x = 8 - 15$

$-4x = -7$

Найдем $x$:

$x = \frac{-7}{-4}$

$x = \frac{7}{4}$ или $x = 1.75$

Ответ: $x = \frac{7}{4}$.

4) $3x - \frac{2x+3}{2} = \frac{x+6}{3}$

Умножим обе части уравнения на НОК знаменателей 2 и 3, то есть на 6.

$6 \cdot (3x - \frac{2x+3}{2}) = 6 \cdot \frac{x+6}{3}$

$6 \cdot 3x - 6 \cdot \frac{2x+3}{2} = 2(x+6)$

$18x - 3(2x+3) = 2(x+6)$

Раскроем скобки:

$18x - 6x - 9 = 2x + 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$12x - 9 = 2x + 12$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$12x - 2x = 12 + 9$

$10x = 21$

$x = \frac{21}{10}$ или $x = 2.1$

Ответ: $x = \frac{21}{10}$.

475. Найдите корень уравнения:

1) $x - \frac{7x + 1}{8} = \frac{4x + 3}{4}$

2) $\frac{2x + 1}{6} - \frac{3x + 1}{7} = 2$

1) $x - \frac{7x + 1}{8} = \frac{4x + 3}{4}$

Чтобы решить это уравнение, избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 8 и 4. НОК(8, 4) = 8.

$8 \cdot \left(x - \frac{7x + 1}{8}\right) = 8 \cdot \left(\frac{4x + 3}{4}\right)$

$8 \cdot x - 8 \cdot \frac{7x + 1}{8} = 8 \cdot \frac{4x + 3}{4}$

Выполним сокращение дробей:

$8x - (7x + 1) = 2 \cdot (4x + 3)$

Раскроем скобки. Важно обратить внимание, что знак "минус" перед дробью применяется ко всему числителю, поэтому $7x+1$ заключается в скобки.

$8x - 7x - 1 = 8x + 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x - 1 = 8x + 6$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в одну часть уравнения, а числа — в другую. Перенесем $x$ вправо, а 6 влево, меняя их знаки:

$-1 - 6 = 8x - x$

$-7 = 7x$

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-7}{7}$

$x = -1$

Ответ: $-1$

2) $\frac{2x + 1}{6} - \frac{3x + 1}{7} = 2$

Для решения этого уравнения также избавимся от дробей. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 7. Так как 6 и 7 взаимно простые числа, их НОК равно их произведению: НОК(6, 7) = 42.

Умножим каждый член уравнения на 42:

$42 \cdot \frac{2x + 1}{6} - 42 \cdot \frac{3x + 1}{7} = 42 \cdot 2$

Сократим дроби:

$7 \cdot (2x + 1) - 6 \cdot (3x + 1) = 84$

Раскроем скобки:

$(7 \cdot 2x + 7 \cdot 1) - (6 \cdot 3x + 6 \cdot 1) = 84$

$14x + 7 - 18x - 6 = 84$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(14x - 18x) + (7 - 6) = 84$

$-4x + 1 = 84$

Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-4x = 84 - 1$

$-4x = 83$

Разделим обе части на -4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{83}{-4}$

$x = -20.75$

Ответ: $-20.75$

476. При каком значении переменной значение выражения $8y(y - 7)$ на 15 больше значения выражения $2y(4y - 10,5)$?

Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $8y(y-7)$ на 15 больше значения выражения $2y(4y-10,5)$, нужно составить уравнение. Условие "выражение A на 15 больше выражения B" записывается как $A = B + 15$.

Составим уравнение, подставив данные выражения:
$8y(y - 7) = 2y(4y - 10,5) + 15$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя распределительный закон умножения.
$8y \cdot y - 8y \cdot 7 = 2y \cdot 4y - 2y \cdot 10,5 + 15$
$8y^2 - 56y = 8y^2 - 21y + 15$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. Для этого вычтем $8y^2$ из обеих частей и прибавим $21y$ к обеим частям.
$8y^2 - 56y - 8y^2 + 21y = 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(8y^2 - 8y^2) + (-56y + 21y) = 15$
$-35y = 15$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на -35:
$y = \frac{15}{-35}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя 15 и знаменателя 35 равен 5.
$y = -\frac{15 \div 5}{35 \div 5} = -\frac{3}{7}$

Ответ: $y = -\frac{3}{7}$.

477. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника уменьшить на 6 см, то его площадь уменьшится на $144 \text{ см}^2$. Найдите исходную ширину прямоугольника.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ см — это исходная ширина прямоугольника.

Согласно условию, длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины, следовательно, исходная длина равна $3x$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = l \cdot w$, где $l$ — длина, а $w$ — ширина.

Таким образом, исходная площадь прямоугольника ($S_1$) составляет:

$S_1 = (3x) \cdot x = 3x^2$ см².

Далее, по условию, ширину прямоугольника уменьшили на 6 см. Новая ширина стала равна $(x - 6)$ см. Длина при этом не изменилась и осталась равной $3x$ см.

Новая площадь прямоугольника ($S_2$) с измененной шириной составит:

$S_2 = 3x \cdot (x - 6)$ см².

Известно, что площадь уменьшилась на 144 см². Это означает, что разница между исходной и новой площадью равна 144:

$S_1 - S_2 = 144$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в это уравнение и решим его относительно $x$:

$3x^2 - 3x(x - 6) = 144$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x^2 - (3x^2 - 18x) = 144$

$3x^2 - 3x^2 + 18x = 144$

Приведем подобные слагаемые:

$18x = 144$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{144}{18}$

$x = 8$

Следовательно, исходная ширина прямоугольника равна 8 см.

Проверка:
Исходная ширина: $w_1 = 8$ см.
Исходная длина: $l_1 = 3 \cdot 8 = 24$ см.
Исходная площадь: $S_1 = 24 \cdot 8 = 192$ см².
Новая ширина: $w_2 = 8 - 6 = 2$ см.
Новая площадь: $S_2 = 24 \cdot 2 = 48$ см².
Уменьшение площади: $S_1 - S_2 = 192 - 48 = 144$ см².
Условие задачи выполняется, решение найдено верно.

Ответ: 8 см.

478. Ширина прямоугольника на 8 см меньше его длины. Если длину прямоугольника увеличить на 6 см, то его площадь увеличится на $72 \text{ см}^2$. Найдите периметр данного прямоугольника.

Пусть $l$ - длина исходного прямоугольника в сантиметрах, а $w$ - его ширина в сантиметрах.

Из условия задачи известно, что ширина на 8 см меньше длины. Это можно записать в виде уравнения:
$w = l - 8$

Площадь исходного прямоугольника ($S_1$) равна произведению его длины и ширины:
$S_1 = l \cdot w = l(l - 8)$

Если длину прямоугольника увеличить на 6 см, то новая длина ($l_2$) составит $l + 6$ см. Ширина при этом останется прежней. Новая площадь ($S_2$) будет равна:
$S_2 = (l + 6) \cdot w = (l + 6)(l - 8)$

По условию, новая площадь на 72 см² больше исходной, то есть:
$S_2 = S_1 + 72$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в это равенство и составим уравнение:
$(l + 6)(l - 8) = l(l - 8) + 72$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$l^2 - 8l + 6l - 48 = l^2 - 8l + 72$

Приведем подобные слагаемые:
$l^2 - 2l - 48 = l^2 - 8l + 72$

Вычтем $l^2$ из обеих частей уравнения и перенесем все слагаемые с переменной $l$ в левую часть, а числовые значения - в правую:
$-2l + 8l = 72 + 48$
$6l = 120$

Найдем длину $l$:
$l = \frac{120}{6} = 20$ см.

Теперь найдем ширину $w$:
$w = l - 8 = 20 - 8 = 12$ см.

Таким образом, стороны исходного прямоугольника равны 20 см и 12 см.

Найдем периметр данного прямоугольника по формуле $P = 2(l + w)$:
$P = 2(20 + 12) = 2 \cdot 32 = 64$ см.

Ответ: 64 см.