Страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Как умножить многочлен на многочлен?

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. После этого, если есть подобные слагаемые, их нужно привести.

Общее правило

Если мы умножаем многочлен $(a + b)$ на многочлен $(c + d)$, то это делается по следующей формуле, основанной на распределительном законе:

$(a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

Этот же принцип работает для многочленов с любым количеством членов.

Пример 1: Умножение двух двучленов

Выполним умножение многочленов $(3x + 2)$ и $(2x - 1)$.

1. Умножаем первый член первого многочлена ($3x$) на каждый член второго:

$3x \cdot 2x = 6x^2$

$3x \cdot (-1) = -3x$

2. Умножаем второй член первого многочлена ($2$) на каждый член второго:

$2 \cdot 2x = 4x$

$2 \cdot (-1) = -2$

3. Складываем все полученные результаты и приводим подобные слагаемые (в данном случае $-3x$ и $4x$):

$(3x + 2)(2x - 1) = 6x^2 - 3x + 4x - 2 = 6x^2 + x - 2$

Ответ: $6x^2 + x - 2$

Пример 2: Умножение многочлена на трехчлен

Умножим многочлен $(y - 5)$ на многочлен $(y^2 + 2y - 3)$.

1. Умножаем первый член первого многочлена ($y$) на каждый член второго:

$y \cdot (y^2 + 2y - 3) = y \cdot y^2 + y \cdot 2y + y \cdot (-3) = y^3 + 2y^2 - 3y$

2. Умножаем второй член первого многочлена ($-5$) на каждый член второго:

$-5 \cdot (y^2 + 2y - 3) = (-5) \cdot y^2 + (-5) \cdot 2y + (-5) \cdot (-3) = -5y^2 - 10y + 15$

3. Складываем полученные выражения и приводим подобные слагаемые:

$(y^3 + 2y^2 - 3y) + (-5y^2 - 10y + 15) = y^3 + 2y^2 - 5y^2 - 3y - 10y + 15$

Приводим подобные члены: $2y^2 - 5y^2 = -3y^2$ и $-3y - 10y = -13y$.

Итоговый результат:

$y^3 - 3y^2 - 13y + 15$

Ответ: $y^3 - 3y^2 - 13y + 15$

498. Выполните умножение:

1) $(a - 2)(b + 5);$

2) $(m + n)(p - k);$

3) $(x - 8)(x + 4);$

4) $(x - 10)(x - 9);$

5) $(c + 5)(c + 8);$

6) $(3y + 1)(4y - 6);$

7) $(-2m - 3)(5 - m);$

8) $(5x^2 - x)(6x^2 + 4x);$

9) $(-c - 4)(c^3 + 3);$

10) $(x - 5)(x^2 + 4x - 3);$

11) $(2a + 3)(4a^2 - 4a + 3);$

12) $a(5a - 4)(3a - 2).$

1) Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.
$(a-2)(b+5) = a \cdot b + a \cdot 5 - 2 \cdot b - 2 \cdot 5 = ab + 5a - 2b - 10$.
Подобных слагаемых нет, поэтому это окончательный вид выражения.
Ответ: $ab + 5a - 2b - 10$.

2) Применяем правило умножения многочленов:
$(m+n)(p-k) = m \cdot p + m \cdot (-k) + n \cdot p + n \cdot (-k) = mp - mk + np - nk$.
Подобных слагаемых нет.
Ответ: $mp - mk + np - nk$.

3) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(x-8)(x+4) = x \cdot x + x \cdot 4 - 8 \cdot x - 8 \cdot 4 = x^2 + 4x - 8x - 32$.
Складываем подобные члены ($4x$ и $-8x$):
$x^2 + (4-8)x - 32 = x^2 - 4x - 32$.
Ответ: $x^2 - 4x - 32$.

4) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(x-10)(x-9) = x \cdot x + x \cdot (-9) - 10 \cdot x - 10 \cdot (-9) = x^2 - 9x - 10x + 90$.
Складываем подобные члены ($-9x$ и $-10x$):
$x^2 + (-9-10)x + 90 = x^2 - 19x + 90$.
Ответ: $x^2 - 19x + 90$.

5) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(c+5)(c+8) = c \cdot c + c \cdot 8 + 5 \cdot c + 5 \cdot 8 = c^2 + 8c + 5c + 40$.
Складываем подобные члены ($8c$ и $5c$):
$c^2 + (8+5)c + 40 = c^2 + 13c + 40$.
Ответ: $c^2 + 13c + 40$.

6) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(3y+1)(4y-6) = 3y \cdot 4y + 3y \cdot (-6) + 1 \cdot 4y + 1 \cdot (-6) = 12y^2 - 18y + 4y - 6$.
Складываем подобные члены ($-18y$ и $4y$):
$12y^2 + (-18+4)y - 6 = 12y^2 - 14y - 6$.
Ответ: $12y^2 - 14y - 6$.

7) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(-2m-3)(5-m) = (-2m) \cdot 5 + (-2m) \cdot (-m) - 3 \cdot 5 - 3 \cdot (-m) = -10m + 2m^2 - 15 + 3m$.
Группируем члены и приводим подобные ($-10m$ и $3m$), располагая их по убыванию степеней:
$2m^2 - 10m + 3m - 15 = 2m^2 - 7m - 15$.
Ответ: $2m^2 - 7m - 15$.

8) Выполняем умножение и приводим подобные слагаемые:
$(5x^2-x)(6x^2+4x) = 5x^2 \cdot 6x^2 + 5x^2 \cdot 4x - x \cdot 6x^2 - x \cdot 4x = 30x^4 + 20x^3 - 6x^3 - 4x^2$.
Складываем подобные члены ($20x^3$ и $-6x^3$):
$30x^4 + (20-6)x^3 - 4x^2 = 30x^4 + 14x^3 - 4x^2$.
Ответ: $30x^4 + 14x^3 - 4x^2$.

9) Выполняем умножение:
$(-c-4)(c^3+3) = (-c) \cdot c^3 + (-c) \cdot 3 - 4 \cdot c^3 - 4 \cdot 3 = -c^4 - 3c - 4c^3 - 12$.
Запишем результат в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней:
$-c^4 - 4c^3 - 3c - 12$.
Ответ: $-c^4 - 4c^3 - 3c - 12$.

10) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:
$(x-5)(x^2+4x-3) = x \cdot (x^2+4x-3) - 5 \cdot (x^2+4x-3) = x \cdot x^2 + x \cdot 4x + x \cdot (-3) - 5 \cdot x^2 - 5 \cdot 4x - 5 \cdot (-3) = x^3 + 4x^2 - 3x - 5x^2 - 20x + 15$.
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$x^3 + (4x^2 - 5x^2) + (-3x - 20x) + 15 = x^3 - x^2 - 23x + 15$.
Ответ: $x^3 - x^2 - 23x + 15$.

11) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:
$(2a+3)(4a^2-4a+3) = 2a \cdot (4a^2-4a+3) + 3 \cdot (4a^2-4a+3) = 8a^3 - 8a^2 + 6a + 12a^2 - 12a + 9$.
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$8a^3 + (-8a^2 + 12a^2) + (6a - 12a) + 9 = 8a^3 + 4a^2 - 6a + 9$.
Ответ: $8a^3 + 4a^2 - 6a + 9$.

12) Сначала выполним умножение выражений в скобках, а затем умножим результат на $a$:
$(5a-4)(3a-2) = 5a \cdot 3a + 5a \cdot (-2) - 4 \cdot 3a - 4 \cdot (-2) = 15a^2 - 10a - 12a + 8 = 15a^2 - 22a + 8$.
Теперь умножим полученный многочлен на $a$:
$a(15a^2 - 22a + 8) = a \cdot 15a^2 - a \cdot 22a + a \cdot 8 = 15a^3 - 22a^2 + 8a$.
Ответ: $15a^3 - 22a^2 + 8a$.

499. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(a+b)(c-d)$;

2) $(x-6)(x-4)$;

3) $(a-3)(a+7)$;

4) $(11-c)(c+8)$;

5) $(d+13)(2d-1)$;

6) $(3y-5)(2y-12)$;

7) $(2x^2-3)(x^2+4)$;

8) $(x-6)(x^2-2x+9)$;

9) $(5x-y)(2x^2+xy-3y^2)$;

10) $b(6b+7)(3b-4).$

1) Чтобы преобразовать произведение двух многочленов в многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Это правило также известно как распределительный закон.
$(a + b)(c - d) = a \cdot (c - d) + b \cdot (c - d) = a \cdot c + a \cdot (-d) + b \cdot c + b \cdot (-d) = ac - ad + bc - bd$.
В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому это и есть итоговый многочлен.
Ответ: $ac - ad + bc - bd$.

2) Умножим многочлен $(x - 6)$ на $(x - 4)$:
$(x - 6)(x - 4) = x \cdot (x - 4) - 6 \cdot (x - 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) - 6 \cdot x - 6 \cdot (-4) = x^2 - 4x - 6x + 24$.
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x$ в одинаковой степени):
$-4x - 6x = -10x$.
Таким образом, выражение преобразуется в: $x^2 - 10x + 24$.
Ответ: $x^2 - 10x + 24$.

3) Умножим многочлен $(a - 3)$ на $(a + 7)$:
$(a - 3)(a + 7) = a \cdot (a + 7) - 3 \cdot (a + 7) = a \cdot a + a \cdot 7 - 3 \cdot a - 3 \cdot 7 = a^2 + 7a - 3a - 21$.
Приведем подобные слагаемые:
$7a - 3a = 4a$.
В результате получаем: $a^2 + 4a - 21$.
Ответ: $a^2 + 4a - 21$.

4) Умножим многочлен $(11 - c)$ на $(c + 8)$:
$(11 - c)(c + 8) = 11 \cdot (c + 8) - c \cdot (c + 8) = 11 \cdot c + 11 \cdot 8 - c \cdot c - c \cdot 8 = 11c + 88 - c^2 - 8c$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Обычно многочлен записывают в порядке убывания степеней переменной:
$-c^2 + (11c - 8c) + 88 = -c^2 + 3c + 88$.
Ответ: $-c^2 + 3c + 88$.

5) Умножим многочлен $(d + 13)$ на $(2d - 1)$:
$(d + 13)(2d - 1) = d \cdot (2d - 1) + 13 \cdot (2d - 1) = d \cdot 2d + d \cdot (-1) + 13 \cdot 2d + 13 \cdot (-1) = 2d^2 - d + 26d - 13$.
Приведем подобные слагаемые:
$-d + 26d = 25d$.
В результате получаем: $2d^2 + 25d - 13$.
Ответ: $2d^2 + 25d - 13$.

6) Умножим многочлен $(3y - 5)$ на $(2y - 12)$:
$(3y - 5)(2y - 12) = 3y \cdot (2y - 12) - 5 \cdot (2y - 12) = 3y \cdot 2y + 3y \cdot (-12) - 5 \cdot 2y - 5 \cdot (-12) = 6y^2 - 36y - 10y + 60$.
Приведем подобные слагаемые:
$-36y - 10y = -46y$.
В результате получаем: $6y^2 - 46y + 60$.
Ответ: $6y^2 - 46y + 60$.

7) Умножим многочлен $(2x^2 - 3)$ на $(x^2 + 4)$:
$(2x^2 - 3)(x^2 + 4) = 2x^2 \cdot (x^2 + 4) - 3 \cdot (x^2 + 4) = 2x^2 \cdot x^2 + 2x^2 \cdot 4 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 4 = 2x^4 + 8x^2 - 3x^2 - 12$.
Приведем подобные слагаемые:
$8x^2 - 3x^2 = 5x^2$.
В результате получаем: $2x^4 + 5x^2 - 12$.
Ответ: $2x^4 + 5x^2 - 12$.

8) Умножим многочлен $(x - 6)$ на $(x^2 - 2x + 9)$:
$(x - 6)(x^2 - 2x + 9) = x \cdot (x^2 - 2x + 9) - 6 \cdot (x^2 - 2x + 9) = (x^3 - 2x^2 + 9x) - (6x^2 - 12x + 54)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^3 - 2x^2 + 9x - 6x^2 + 12x - 54 = x^3 + (-2x^2 - 6x^2) + (9x + 12x) - 54 = x^3 - 8x^2 + 21x - 54$.
Ответ: $x^3 - 8x^2 + 21x - 54$.

9) Умножим многочлен $(5x - y)$ на $(2x^2 + xy - 3y^2)$:
$(5x - y)(2x^2 + xy - 3y^2) = 5x(2x^2 + xy - 3y^2) - y(2x^2 + xy - 3y^2)$.
$ = (5x \cdot 2x^2 + 5x \cdot xy - 5x \cdot 3y^2) - (y \cdot 2x^2 + y \cdot xy - y \cdot 3y^2)$.
$ = (10x^3 + 5x^2y - 15xy^2) - (2x^2y + xy^2 - 3y^3)$.
Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$10x^3 + 5x^2y - 15xy^2 - 2x^2y - xy^2 + 3y^3 = 10x^3 + (5x^2y - 2x^2y) + (-15xy^2 - xy^2) + 3y^3$.
$ = 10x^3 + 3x^2y - 16xy^2 + 3y^3$.
Ответ: $10x^3 + 3x^2y - 16xy^2 + 3y^3$.

10) В выражении $b(6b + 7)(3b - 4)$ три множителя. Удобнее сначала перемножить два многочлена в скобках, а затем результат умножить на одночлен $b$.
Шаг 1: Умножим $(6b + 7)$ на $(3b - 4)$.
$(6b + 7)(3b - 4) = 6b \cdot 3b + 6b \cdot (-4) + 7 \cdot 3b + 7 \cdot (-4) = 18b^2 - 24b + 21b - 28$.
Приведем подобные слагаемые: $18b^2 - 3b - 28$.
Шаг 2: Умножим полученный многочлен на $b$.
$b(18b^2 - 3b - 28) = b \cdot 18b^2 - b \cdot 3b - b \cdot 28 = 18b^3 - 3b^2 - 28b$.
Ответ: $18b^3 - 3b^2 - 28b$.

500. Упростите выражение:

1) $(x + 2)(x + 11) - 2x(3 - 4x)$;

2) $(a + 5)(a - 2) + (a - 4)(a + 6)$;

3) $(y - 9)(3y - 1) - (2y + 1)(5y - 7)$;

4) $(4x - 1)(4x - 3) - (2x - 10)(8x + 1).

1) Для того чтобы упростить выражение $(x + 2)(x + 11) - 2x(3 - 4x)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем скобки в произведении многочленов $(x + 2)(x + 11)$ по правилу умножения многочлена на многочлен (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):
$(x + 2)(x + 11) = x \cdot x + x \cdot 11 + 2 \cdot x + 2 \cdot 11 = x^2 + 11x + 2x + 22 = x^2 + 13x + 22$.
Теперь раскроем скобки во втором слагаемом $-2x(3 - 4x)$, используя распределительный закон:
$-2x(3 - 4x) = -2x \cdot 3 - 2x \cdot (-4x) = -6x + 8x^2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(x^2 + 13x + 22) + (-6x + 8x^2) = x^2 + 13x + 22 - 6x + 8x^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):
$(x^2 + 8x^2) + (13x - 6x) + 22 = 9x^2 + 7x + 22$.
Ответ: $9x^2 + 7x + 22$.

2) Упростим выражение $(a + 5)(a - 2) + (a - 4)(a + 6)$.
Раскроем скобки в каждом произведении отдельно.
Первое произведение:
$(a + 5)(a - 2) = a^2 - 2a + 5a - 10 = a^2 + 3a - 10$.
Второе произведение:
$(a - 4)(a + 6) = a^2 + 6a - 4a - 24 = a^2 + 2a - 24$.
Теперь сложим полученные многочлены:
$(a^2 + 3a - 10) + (a^2 + 2a - 24) = a^2 + 3a - 10 + a^2 + 2a - 24$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 + a^2) + (3a + 2a) + (-10 - 24) = 2a^2 + 5a - 34$.
Ответ: $2a^2 + 5a - 34$.

3) Упростим выражение $(y - 9)(3y - 1) - (2y + 1)(5y - 7)$.
Раскроем скобки в уменьшаемом:
$(y - 9)(3y - 1) = y \cdot 3y - y \cdot 1 - 9 \cdot 3y - 9 \cdot (-1) = 3y^2 - y - 27y + 9 = 3y^2 - 28y + 9$.
Раскроем скобки в вычитаемом:
$(2y + 1)(5y - 7) = 2y \cdot 5y + 2y \cdot (-7) + 1 \cdot 5y + 1 \cdot (-7) = 10y^2 - 14y + 5y - 7 = 10y^2 - 9y - 7$.
Теперь выполним вычитание. Важно помнить, что при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$(3y^2 - 28y + 9) - (10y^2 - 9y - 7) = 3y^2 - 28y + 9 - 10y^2 + 9y + 7$.
Приведем подобные слагаемые:
$(3y^2 - 10y^2) + (-28y + 9y) + (9 + 7) = -7y^2 - 19y + 16$.
Ответ: $-7y^2 - 19y + 16$.

4) Упростим выражение $(4x - 1)(4x - 3) - (2x - 10)(8x + 1)$.
Раскроем скобки в первом произведении:
$(4x - 1)(4x - 3) = 4x \cdot 4x + 4x \cdot (-3) - 1 \cdot 4x - 1 \cdot (-3) = 16x^2 - 12x - 4x + 3 = 16x^2 - 16x + 3$.
Раскроем скобки во втором произведении:
$(2x - 10)(8x + 1) = 2x \cdot 8x + 2x \cdot 1 - 10 \cdot 8x - 10 \cdot 1 = 16x^2 + 2x - 80x - 10 = 16x^2 - 78x - 10$.
Вычтем второе выражение из первого, меняя знаки в вычитаемом:
$(16x^2 - 16x + 3) - (16x^2 - 78x - 10) = 16x^2 - 16x + 3 - 16x^2 + 78x + 10$.
Приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 - 16x^2) + (-16x + 78x) + (3 + 10) = 0 + 62x + 13 = 62x + 13$.
Ответ: $62x + 13$.