Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

536. Вычислите, используя распределительное свойство умножения:

1) $4,8 \cdot 2,9 + 4,8 \cdot 7,1$;

2) $3 \frac{9}{14} \cdot \frac{7}{9} - 2 \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{9}$,

3) $3 \frac{9}{14} \cdot 0,3 - 0,3 \cdot 1 \frac{10}{21} + 0,3 \cdot 1 \frac{1}{6}$.

1) В выражении $4,8 \cdot 2,9 + 4,8 \cdot 7,1$ общим множителем является $4,8$. Применим распределительное свойство умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$, вынеся общий множитель за скобки.

$4,8 \cdot 2,9 + 4,8 \cdot 7,1 = 4,8 \cdot (2,9 + 7,1)$

Сначала выполним сложение в скобках:

$2,9 + 7,1 = 10$

Далее умножим результат на общий множитель:

$4,8 \cdot 10 = 48$

Ответ: $48$

2) В выражении $3\frac{9}{14} \cdot \frac{7}{9} - 2\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{9}$ общим множителем является дробь $\frac{7}{9}$. Вынесем ее за скобки, используя распределительное свойство $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$.

$(3\frac{9}{14} - 2\frac{5}{14}) \cdot \frac{7}{9}$

Выполним вычитание смешанных чисел в скобках. Поскольку знаменатели дробных частей одинаковы, вычитаем целые и дробные части отдельно:

$3\frac{9}{14} - 2\frac{5}{14} = (3-2) + (\frac{9}{14} - \frac{5}{14}) = 1 + \frac{4}{14} = 1\frac{4}{14}$

Сократим полученную дробь: $1\frac{4}{14} = 1\frac{2}{7}$.

Теперь умножим результат на $\frac{7}{9}$. Для этого представим смешанное число $1\frac{2}{7}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$

Выполним умножение:

$\frac{9}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{9 \cdot 7}{7 \cdot 9} = 1$

Ответ: $1$

3) В выражении $3\frac{9}{14} \cdot 0,3 - 0,3 \cdot 1\frac{10}{21} + 0,3 \cdot 1\frac{1}{6}$ общим множителем является $0,3$. Вынесем его за скобки.

$(3\frac{9}{14} - 1\frac{10}{21} + 1\frac{1}{6}) \cdot 0,3$

Выполним действия со смешанными числами в скобках. Для этого приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел $14$, $21$ и $6$ равно $42$.

$3\frac{9}{14} = 3\frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = 3\frac{27}{42}$

$1\frac{10}{21} = 1\frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 2} = 1\frac{20}{42}$

$1\frac{1}{6} = 1\frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = 1\frac{7}{42}$

Теперь выполним действия в скобках с дробями, приведенными к общему знаменателю:

$3\frac{27}{42} - 1\frac{20}{42} + 1\frac{7}{42} = (3 - 1 + 1) + (\frac{27 - 20 + 7}{42}) = 3 + \frac{14}{42} = 3\frac{14}{42}$

Сократим дробную часть: $3\frac{14}{42} = 3\frac{1}{3}$.

Теперь умножим полученный результат на $0,3$. Для удобства вычислений представим оба числа в виде обыкновенных дробей:

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

$0,3 = \frac{3}{10}$

Выполним умножение:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{10} = 1$

Ответ: $1$

537. Решите уравнение:

1) $x(x+4)=0;$

2) $(x-6)(x+9)=0;$

3) $(3x+5)(10-0,4x)=0.$

1) $x(x+4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что мы можем приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения.
Первый множитель:
$x_1 = 0$
Второй множитель:
$x + 4 = 0$
$x_2 = -4$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $0$; $-4$.

2) $(x-6)(x+9) = 0$
Данное уравнение представляет собой произведение двух скобок, которое равно нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы одна из скобок равна нулю.
Приравниваем первую скобку к нулю:
$x - 6 = 0$
$x_1 = 6$
Приравниваем вторую скобку к нулю:
$x + 9 = 0$
$x_2 = -9$
Корнями уравнения являются числа $6$ и $-9$.
Ответ: $6$; $-9$.

3) $(3x+5)(10-0,4x) = 0$
Как и в предыдущих случаях, произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Решим два линейных уравнения.
Первое уравнение:
$3x + 5 = 0$
$3x = -5$
$x_1 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Второе уравнение:
$10 - 0,4x = 0$
$10 = 0,4x$
Чтобы найти $x$, разделим $10$ на $0,4$:
$x_2 = \frac{10}{0,4} = \frac{100}{4} = 25$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-1\frac{2}{3}$; $25$.

538. В каждой клетке доски размером $5 \times 5$ клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Да, обязательно останется пустая клетка. Докажем это с помощью метода раскраски.

Раскрасим клетки доски размером $5 \times 5$ в два цвета, как на шахматной доске (например, в белый и черный). Общее количество клеток на доске равно $5 \times 5 = 25$. Так как это число нечетное, количество клеток одного цвета будет больше, чем количество клеток другого. Например, если мы выберем угловую клетку белой, то на всей доске окажется 13 белых и 12 черных клеток.

Изначально в каждой из 25 клеток сидит по одному жуку. Это означает, что на 13 белых клетках находятся 13 жуков, а на 12 черных клетках — 12 жуков.

По условию, каждый жук переползает на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку. При шахматной раскраске любая белая клетка окружена только черными, а любая черная — только белыми. Следовательно, каждый жук при перемещении меняет цвет клетки: с белой он переползает на черную, а с черной — на белую.

Рассмотрим, что произойдет после того, как все жуки переместятся.

Все 12 жуков, которые изначально сидели на черных клетках, должны переползти на белые клетки. Но белых клеток на доске 13. Таким образом, 12 жуков займут только 12 из 13 белых клеток. Это означает, что как минимум одна белая клетка гарантированно останется пустой, так как на нее некому переползти (жуки с белых клеток не могут на нее попасть).

С другой стороны, можно посмотреть на черные клетки. На 12 черных клеток должны переместиться 13 жуков, которые сидели на белых клетках. По принципу Дирихле, если 13 жуков размещаются в 12 клетках, то хотя бы в одну клетку попадет более одного жука. А поскольку общее количество жуков (25) равно общему количеству клеток (25), то если какая-то клетка занята более чем одним жуком, то обязательно найдется и пустая клетка.

Оба рассуждения доказывают, что на доске неизбежно останется как минимум одна пустая клетка.

Ответ: Да, обязательно.