Номер 538, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 538, страница 92.

Условие.

538. В каждой клетке доски размером $5 \times 5$ клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Да, обязательно останется пустая клетка. Докажем это с помощью метода раскраски.

Раскрасим клетки доски размером $5 \times 5$ в два цвета, как на шахматной доске (например, в белый и черный). Общее количество клеток на доске равно $5 \times 5 = 25$. Так как это число нечетное, количество клеток одного цвета будет больше, чем количество клеток другого. Например, если мы выберем угловую клетку белой, то на всей доске окажется 13 белых и 12 черных клеток.

Изначально в каждой из 25 клеток сидит по одному жуку. Это означает, что на 13 белых клетках находятся 13 жуков, а на 12 черных клетках — 12 жуков.

По условию, каждый жук переползает на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку. При шахматной раскраске любая белая клетка окружена только черными, а любая черная — только белыми. Следовательно, каждый жук при перемещении меняет цвет клетки: с белой он переползает на черную, а с черной — на белую.

Рассмотрим, что произойдет после того, как все жуки переместятся.

Все 12 жуков, которые изначально сидели на черных клетках, должны переползти на белые клетки. Но белых клеток на доске 13. Таким образом, 12 жуков займут только 12 из 13 белых клеток. Это означает, что как минимум одна белая клетка гарантированно останется пустой, так как на нее некому переползти (жуки с белых клеток не могут на нее попасть).

С другой стороны, можно посмотреть на черные клетки. На 12 черных клеток должны переместиться 13 жуков, которые сидели на белых клетках. По принципу Дирихле, если 13 жуков размещаются в 12 клетках, то хотя бы в одну клетку попадет более одного жука. А поскольку общее количество жуков (25) равно общему количеству клеток (25), то если какая-то клетка занята более чем одним жуком, то обязательно найдется и пустая клетка.

Оба рассуждения доказывают, что на доске неизбежно останется как минимум одна пустая клетка.

Ответ: Да, обязательно.