Номер 1, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 1, страница 95.

Условие.

1. Поясните, что называют разложением многочлена на множители.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1. Поясните, что называют разложением многочлена на множители.

Разложением многочлена на множители называют тождественное преобразование, в результате которого многочлен представляется в виде произведения двух или нескольких многочленов (включая одночлены). Исходный многочлен является алгебраической суммой одночленов, а после разложения он превращается в произведение.

Это одна из важнейших операций в алгебре. Существует несколько основных способов разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.
Этот способ применяется, когда все члены многочлена имеют один или несколько общих множителей.
Пример: Разложить на множители многочлен $12x^2y - 18xy^3$.
Находим наибольший общий делитель для коэффициентов (12 и 18) — это 6.
Находим общие переменные в наименьшей степени — это $x$ и $y$.
Таким образом, общий множитель — $6xy$. Выносим его за скобки:
$12x^2y - 18xy^3 = 6xy \cdot 2x - 6xy \cdot 3y^2 = 6xy(2x - 3y^2)$
Мы представили многочлен в виде произведения одночлена $6xy$ и многочлена $(2x - 3y^2)$.

2. Использование формул сокращённого умножения.
Часто многочлены можно разложить, используя известные формулы:
• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• Квадрат суммы/разности: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$; $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• Разность/сумма кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$; $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Пример: Разложить на множители $49a^2 - 25b^2$.
Используем формулу разности квадратов:
$49a^2 - 25b^2 = (7a)^2 - (5b)^2 = (7a - 5b)(7a + 5b)$

3. Метод группировки.
Этот метод используется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Члены многочлена объединяют в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех групп.
Пример: Разложить на множители $ax - 2ay + 3bx - 6by$.
Сгруппируем члены: $(ax - 2ay) + (3bx - 6by)$.
Вынесем общие множители в каждой группе: $a(x - 2y) + 3b(x - 2y)$.
Теперь у нас есть общий множитель $(x - 2y)$, который мы тоже выносим за скобки:
$(x - 2y)(a + 3b)$

Разложение на множители необходимо для решения уравнений, упрощения алгебраических дробей и анализа свойств функций.

Ответ: Разложением многочлена на множители называют его представление в виде произведения двух или более многочленов.