Номер 543, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 543, страница 95.

Условие.

543. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $4b + 16c;$

2) $12x - 15y;$

3) $-8a - 18b;$

4) $24x + 30y;$

5) $10mx - 15my;$

6) $x^2 + xy;$

7) $3d^2 - 3cd;$

8) $4a^2 + 16ab;$

9) $a^6 - a^3;$

10) $b^2 + b^8;$

11) $7p^3 - 5p;$

12) $15c^2d - 3cd;$

13) $14x^2y + 21xy^2;$

14) $-2x^9 + 16x^6;$

15) $8a^4b^2 - 36a^3b^7.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) 4b + 16c;
Чтобы вынести общий множитель из выражения $4b + 16c$, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 4 и 16. НОД(4, 16) = 4. Общих переменных у слагаемых нет. Таким образом, за скобки можно вынести 4. Разделив каждое слагаемое на 4, получим: $4b : 4 = b$ и $16c : 4 = 4c$.
$4b + 16c = 4(b + 4c)$.
Ответ: $4(b+4c)$

2) 12x - 15y;
Найдем НОД для коэффициентов 12 и 15. НОД(12, 15) = 3. Общих переменных нет. Выносим 3 за скобки. $12x : 3 = 4x$ и $-15y : 3 = -5y$.
$12x - 15y = 3(4x - 5y)$.
Ответ: $3(4x - 5y)$

3) -8a - 18b;
Найдем НОД для модулей коэффициентов 8 и 18. НОД(8, 18) = 2. Поскольку оба слагаемых отрицательны, удобно вынести за скобки отрицательный множитель -2. Делим каждое слагаемое на -2: $-8a : (-2) = 4a$ и $-18b : (-2) = 9b$.
$-8a - 18b = -2(4a + 9b)$.
Ответ: $-2(4a + 9b)$

4) 24x + 30y;
Найдем НОД для коэффициентов 24 и 30. НОД(24, 30) = 6. Общих переменных нет. Выносим 6 за скобки. $24x : 6 = 4x$ и $30y : 6 = 5y$.
$24x + 30y = 6(4x + 5y)$.
Ответ: $6(4x + 5y)$

5) 10mx - 15my;
Найдем НОД для коэффициентов 10 и 15, он равен 5. Оба слагаемых содержат общую переменную $m$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $5m$. Делим каждое слагаемое на $5m$: $10mx : (5m) = 2x$ и $-15my : (5m) = -3y$.
$10mx - 15my = 5m(2x - 3y)$.
Ответ: $5m(2x - 3y)$

6) x² + xy;
Оба слагаемых содержат переменную $x$. Общий множитель — это $x$ в наименьшей степени, то есть $x^1=x$. Выносим $x$ за скобки. $x^2 : x = x$ и $xy : x = y$.
$x^2 + xy = x(x + y)$.
Ответ: $x(x + y)$

7) 3d² - 3cd;
Общий числовой множитель равен 3. Оба слагаемых содержат переменную $d$. Наименьшая степень $d$ — первая, то есть $d^1=d$. Общий множитель — $3d$. Выносим его за скобки. $3d^2 : (3d) = d$ и $-3cd : (3d) = -c$.
$3d^2 - 3cd = 3d(d - c)$.
Ответ: $3d(d - c)$

8) 4a² + 16ab;
НОД коэффициентов 4 и 16 равен 4. Оба слагаемых содержат переменную $a$. Наименьшая степень $a$ — первая. Общий множитель — $4a$. Выносим его за скобки. $4a^2 : (4a) = a$ и $16ab : (4a) = 4b$.
$4a^2 + 16ab = 4a(a + 4b)$.
Ответ: $4a(a + 4b)$

9) a⁶ - a³;
Оба слагаемых являются степенями переменной $a$. Общий множитель — это $a$ в наименьшей степени, то есть $a^3$. Выносим $a^3$ за скобки. $a^6 : a^3 = a^{6-3} = a^3$ и $-a^3 : a^3 = -1$.
$a^6 - a^3 = a^3(a^3 - 1)$.
Ответ: $a^3(a^3 - 1)$

10) b² + b⁸;
Оба слагаемых являются степенями переменной $b$. Общий множитель — это $b$ в наименьшей степени, то есть $b^2$. Выносим $b^2$ за скобки. $b^2 : b^2 = 1$ и $b^8 : b^2 = b^{8-2} = b^6$.
$b^2 + b^8 = b^2(1 + b^6)$.
Ответ: $b^2(1 + b^6)$

11) 7p³ - 5p;
Коэффициенты 7 и 5 взаимно простые (НОД=1). Оба слагаемых содержат переменную $p$. Наименьшая степень $p$ — первая. Общий множитель — $p$. Выносим его за скобки. $7p^3 : p = 7p^2$ и $-5p : p = -5$.
$7p^3 - 5p = p(7p^2 - 5)$.
Ответ: $p(7p^2 - 5)$

12) 15c²d - 3cd;
НОД коэффициентов 15 и 3 равен 3. Оба слагаемых содержат переменные $c$ и $d$. Наименьшая степень для $c$ — первая ($c^1=c$), для $d$ — первая ($d^1=d$). Общий множитель — $3cd$. Выносим его за скобки. $15c^2d : (3cd) = 5c$ и $-3cd : (3cd) = -1$.
$15c^2d - 3cd = 3cd(5c - 1)$.
Ответ: $3cd(5c - 1)$

13) 14x²y + 21xy²;
НОД коэффициентов 14 и 21 равен 7. Оба слагаемых содержат переменные $x$ и $y$. Наименьшая степень для $x$ — первая ($x$), для $y$ — первая ($y$). Общий множитель — $7xy$. Выносим его за скобки. $14x^2y : (7xy) = 2x$ и $21xy^2 : (7xy) = 3y$.
$14x^2y + 21xy^2 = 7xy(2x + 3y)$.
Ответ: $7xy(2x + 3y)$

14) -2x⁹ + 16x⁶;
НОД модулей коэффициентов 2 и 16 равен 2. Оба слагаемых содержат переменную $x$. Наименьшая степень $x$ — шестая ($x^6$). Так как первый член отрицательный, вынесем за скобки $-2x^6$. Делим каждое слагаемое на $-2x^6$: $-2x^9 : (-2x^6) = x^3$ и $16x^6 : (-2x^6) = -8$.
$-2x^9 + 16x^6 = -2x^6(x^3 - 8)$.
Ответ: $-2x^6(x^3 - 8)$

15) 8a⁴b² - 36a³b⁷;
НОД коэффициентов 8 и 36 равен 4. Оба слагаемых содержат переменные $a$ и $b$. Наименьшая степень для $a$ — третья ($a^3$), для $b$ — вторая ($b^2$). Общий множитель — $4a^3b^2$. Выносим его за скобки. $8a^4b^2 : (4a^3b^2) = 2a$ и $-36a^3b^7 : (4a^3b^2) = -9b^5$.
$8a^4b^2 - 36a^3b^7 = 4a^3b^2(2a - 9b^5)$.
Ответ: $4a^3b^2(2a - 9b^5)$