Номер 542, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 542, страница 95.

Условие.

542. Завершите разложение многочлена на множители:

1) $7m + 3mn = m (...;$

2) $a^7 + a^4 = a^4 (...;$

3) $-m^3 - mnp = -m (...;$

4) $x^5y - x^4y^3 + x^3y^2 = x^3y (...$

Решение 1.

Решение 5.

1) Чтобы завершить разложение многочлена $7m + 3mn$ на множители, необходимо найти общий множитель для каждого слагаемого и вынести его за скобки. В данном случае общим множителем является $m$. Разделим каждый член многочлена на $m$:
$7m \div m = 7$
$3mn \div m = 3n$
Теперь запишем полученные выражения в скобках после общего множителя $m$.
$7m + 3mn = m(7 + 3n)$
Ответ: $m(7 + 3n)$

2) В многочлене $a^7 + a^4$ нужно вынести за скобки общий множитель. Общим множителем для степеней с одинаковым основанием является степень с наименьшим показателем, то есть $a^4$. Выполним деление каждого члена многочлена на $a^4$, используя свойство степеней $a^k \div a^n = a^{k-n}$:
$a^7 \div a^4 = a^{7-4} = a^3$
$a^4 \div a^4 = a^{4-4} = a^0 = 1$
Таким образом, разложение на множители выглядит так:
$a^7 + a^4 = a^4(a^3 + 1)$
Ответ: $a^4(a^3 + 1)$

3) Для многочлена $-m^3 - mnp$ необходимо вынести за скобки общий множитель $-m$. Разделим каждый член многочлена на $-m$:
$-m^3 \div (-m) = m^{3-1} = m^2$
$-mnp \div (-m) = np$
Запишем результат в скобках после общего множителя $-m$:
$-m^3 - mnp = -m(m^2 + np)$
Ответ: $-m(m^2 + np)$

4) В многочлене $x^5y - x^4y^3 + x^3y^2$ нужно найти наибольший общий делитель для всех его членов и вынести его за скобки.
Для переменной $x$ наименьшая степень — 3, поэтому выносим $x^3$.
Для переменной $y$ наименьшая степень — 1, поэтому выносим $y$.
Общий множитель — $x^3y$. Теперь разделим каждый член многочлена на $x^3y$:
$x^5y \div (x^3y) = x^{5-3}y^{1-1} = x^2y^0 = x^2$
$-x^4y^3 \div (x^3y) = -x^{4-3}y^{3-1} = -x^1y^2 = -xy^2$
$x^3y^2 \div (x^3y) = x^{3-3}y^{2-1} = x^0y^1 = y$
Запишем полученные выражения в скобках:
$x^5y - x^4y^3 + x^3y^2 = x^3y(x^2 - xy^2 + y)$
Ответ: $x^3y(x^2 - xy^2 + y)$