Страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Поясните, что называют разложением многочлена на множители.

1. Поясните, что называют разложением многочлена на множители.

Разложением многочлена на множители называют тождественное преобразование, в результате которого многочлен представляется в виде произведения двух или нескольких многочленов (включая одночлены). Исходный многочлен является алгебраической суммой одночленов, а после разложения он превращается в произведение.

Это одна из важнейших операций в алгебре. Существует несколько основных способов разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.
Этот способ применяется, когда все члены многочлена имеют один или несколько общих множителей.
Пример: Разложить на множители многочлен $12x^2y - 18xy^3$.
Находим наибольший общий делитель для коэффициентов (12 и 18) — это 6.
Находим общие переменные в наименьшей степени — это $x$ и $y$.
Таким образом, общий множитель — $6xy$. Выносим его за скобки:
$12x^2y - 18xy^3 = 6xy \cdot 2x - 6xy \cdot 3y^2 = 6xy(2x - 3y^2)$
Мы представили многочлен в виде произведения одночлена $6xy$ и многочлена $(2x - 3y^2)$.

2. Использование формул сокращённого умножения.
Часто многочлены можно разложить, используя известные формулы:
• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• Квадрат суммы/разности: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$; $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• Разность/сумма кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$; $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Пример: Разложить на множители $49a^2 - 25b^2$.
Используем формулу разности квадратов:
$49a^2 - 25b^2 = (7a)^2 - (5b)^2 = (7a - 5b)(7a + 5b)$

3. Метод группировки.
Этот метод используется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Члены многочлена объединяют в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех групп.
Пример: Разложить на множители $ax - 2ay + 3bx - 6by$.
Сгруппируем члены: $(ax - 2ay) + (3bx - 6by)$.
Вынесем общие множители в каждой группе: $a(x - 2y) + 3b(x - 2y)$.
Теперь у нас есть общий множитель $(x - 2y)$, который мы тоже выносим за скобки:
$(x - 2y)(a + 3b)$

Разложение на множители необходимо для решения уравнений, упрощения алгебраических дробей и анализа свойств функций.

Ответ: Разложением многочлена на множители называют его представление в виде произведения двух или более многочленов.

2. Какое свойство умножения используют при вынесении общего множителя за скобки?

При вынесении общего множителя за скобки используют распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания.

Распределительное свойство (или дистрибутивность) связывает операции умножения и сложения. В общем виде оно записывается так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Это равенство можно читать как слева направо, так и справа налево.

• Чтение слева направо: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Это операция раскрытия скобок. Чтобы умножить число на сумму, нужно умножить это число на каждое слагаемое и результаты сложить.
• Чтение справа налево: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Это операция вынесения общего множителя за скобки. Если в сумме нескольких слагаемых есть общий множитель ($a$), его можно вынести за скобки, а в скобках останется сумма остальных множителей ($b+c$).

Пример: Рассмотрим выражение $12x + 18y$.

1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 12 и 18. НОД(12, 18) = 6.
2. Представим каждое слагаемое как произведение, где одним из множителей является 6: $12x = 6 \cdot 2x$
   $18y = 6 \cdot 3y$
3. Подставим это в исходное выражение: $12x + 18y = 6 \cdot 2x + 6 \cdot 3y$
4. Теперь, согласно распределительному свойству, вынесем общий множитель 6 за скобки: $6 \cdot 2x + 6 \cdot 3y = 6 \cdot (2x + 3y)$

Таким образом, вынесение общего множителя — это прямое применение распределительного свойства умножения.

Ответ: Распределительное свойство умножения.

539. Разложите на множители:

1) $am + an;$

2) $6x - 6y;$

3) $-cx - cy;$

4) $7c - 7.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $am + an$, необходимо найти общий множитель у слагаемых $am$ и $an$. В данном случае это переменная $a$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки. Для этого каждое слагаемое в исходном выражении разделим на $a$:

$am \div a = m$

$an \div a = n$

Результаты деления запишем в скобках, а общий множитель перед ними. Таким образом, получаем:

$am + an = a(m + n)$

Ответ: $a(m + n)$

2) В выражении $6x - 6y$ общим множителем для членов $6x$ и $-6y$ является число $6$. Вынесем $6$ за скобки. Разделим каждый член выражения на $6$:

$6x \div 6 = x$

$-6y \div 6 = -y$

Запишем результат в виде произведения общего множителя и разности полученных выражений:

$6x - 6y = 6(x - y)$

Ответ: $6(x - y)$

3) В выражении $-cx - cy$ оба члена содержат общий множитель. Можно вынести за скобки $c$ или $-c$. Обычно, если первый член отрицательный, выносят отрицательный множитель. Вынесем за скобки $-c$. Для этого разделим каждый член выражения на $-c$:

$-cx \div (-c) = x$

$-cy \div (-c) = y$

Когда мы выносим отрицательный множитель, знаки внутри скобок меняются на противоположные. Получаем:

$-cx - cy = -c(x + y)$

Ответ: $-c(x + y)$

4) В выражении $7c - 7$ общим множителем является число $7$, так как $7 = 7 \cdot 1$. Вынесем $7$ за скобки. Разделим каждый член на $7$:

$7c \div 7 = c$

$-7 \div 7 = -1$

Таким образом, разложение на множители будет выглядеть так:

$7c - 7 = 7(c - 1)$

Ответ: $7(c - 1)$

540. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $9a+9b;$

2) $ab-bc;$

3) $ax+a;$

4) $4bk+4bm.$

1) В выражении $9a + 9b$ оба слагаемых, $9a$ и $9b$, имеют общий числовой множитель $9$. Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно каждое слагаемое разделить на этот множитель, а результат записать в скобках.
$9a : 9 = a$
$9b : 9 = b$
Таким образом, получаем: $9a + 9b = 9(a + b)$.
Ответ: $9(a + b)$

2) В выражении $ab - bc$ оба члена, $ab$ и $bc$, имеют общий буквенный множитель $b$. Вынесем его за скобки.
$ab : b = a$
$-bc : b = -c$
Следовательно: $ab - bc = b(a - c)$.
Ответ: $b(a - c)$

3) В выражении $ax + a$ общий множитель — это переменная $a$. Важно помнить, что второе слагаемое $a$ можно представить как $a \cdot 1$.
$ax : a = x$
$a : a = 1$
В результате получаем: $ax + a = a(x + 1)$.
Ответ: $a(x + 1)$

4) В выражении $4bk + 4bm$ общим множителем является произведение числа и переменной, то есть $4b$. Вынесем его за скобки.
$4bk : (4b) = k$
$4bm : (4b) = m$
Таким образом: $4bk + 4bm = 4b(k + m)$.
Ответ: $4b(k + m)$

541. Завершите разложение многочлена на множители:

1) $4a - 12b = 4 (...$;

2) $x^3 - 2x^2y = x^2 (...$;

3) $27a^2b + 18ab^2 = 9ab (...$;

4) $6x^2 + 12x^4 - 18x^5 = 6x^2 (...$

1) Чтобы завершить разложение многочлена $4a - 12b$, необходимо вынести за скобки общий множитель 4. Для этого мы делим каждый член многочлена на 4:

Первый член: $4a \div 4 = a$

Второй член: $-12b \div 4 = -3b$

Следовательно, выражение в скобках будет $(a - 3b)$.

Полное разложение: $4a - 12b = 4(a - 3b)$.

Ответ: $4(a - 3b)$

2) В выражении $x^3 - 2x^2y$ нужно вынести за скобки общий множитель $x^2$. Разделим каждый член многочлена на $x^2$:

Первый член: $x^3 \div x^2 = x^{3-2} = x$

Второй член: $-2x^2y \div x^2 = -2y$

Следовательно, выражение в скобках будет $(x - 2y)$.

Полное разложение: $x^3 - 2x^2y = x^2(x - 2y)$.

Ответ: $x^2(x - 2y)$

3) Для многочлена $27a^2b + 18ab^2$ выносим за скобки общий множитель $9ab$. Разделим каждый член на $9ab$:

Первый член: $27a^2b \div (9ab) = (27 \div 9) \cdot (a^2 \div a) \cdot (b \div b) = 3a$

Второй член: $18ab^2 \div (9ab) = (18 \div 9) \cdot (a \div a) \cdot (b^2 \div b) = 2b$

Следовательно, выражение в скобках будет $(3a + 2b)$.

Полное разложение: $27a^2b + 18ab^2 = 9ab(3a + 2b)$.

Ответ: $9ab(3a + 2b)$

4) В выражении $6x^2 + 12x^4 - 18x^5$ выносим за скобки общий множитель $6x^2$. Разделим каждый член многочлена на $6x^2$:

Первый член: $6x^2 \div (6x^2) = 1$

Второй член: $12x^4 \div (6x^2) = (12 \div 6) \cdot (x^4 \div x^2) = 2x^2$

Третий член: $-18x^5 \div (6x^2) = -(18 \div 6) \cdot (x^5 \div x^2) = -3x^3$

Следовательно, выражение в скобках будет $(1 + 2x^2 - 3x^3)$.

Полное разложение: $6x^2 + 12x^4 - 18x^5 = 6x^2(1 + 2x^2 - 3x^3)$.

Ответ: $6x^2(1 + 2x^2 - 3x^3)$

542. Завершите разложение многочлена на множители:

1) $7m + 3mn = m (...;$

2) $a^7 + a^4 = a^4 (...;$

3) $-m^3 - mnp = -m (...;$

4) $x^5y - x^4y^3 + x^3y^2 = x^3y (...$

1) Чтобы завершить разложение многочлена $7m + 3mn$ на множители, необходимо найти общий множитель для каждого слагаемого и вынести его за скобки. В данном случае общим множителем является $m$. Разделим каждый член многочлена на $m$:
$7m \div m = 7$
$3mn \div m = 3n$
Теперь запишем полученные выражения в скобках после общего множителя $m$.
$7m + 3mn = m(7 + 3n)$
Ответ: $m(7 + 3n)$

2) В многочлене $a^7 + a^4$ нужно вынести за скобки общий множитель. Общим множителем для степеней с одинаковым основанием является степень с наименьшим показателем, то есть $a^4$. Выполним деление каждого члена многочлена на $a^4$, используя свойство степеней $a^k \div a^n = a^{k-n}$:
$a^7 \div a^4 = a^{7-4} = a^3$
$a^4 \div a^4 = a^{4-4} = a^0 = 1$
Таким образом, разложение на множители выглядит так:
$a^7 + a^4 = a^4(a^3 + 1)$
Ответ: $a^4(a^3 + 1)$

3) Для многочлена $-m^3 - mnp$ необходимо вынести за скобки общий множитель $-m$. Разделим каждый член многочлена на $-m$:
$-m^3 \div (-m) = m^{3-1} = m^2$
$-mnp \div (-m) = np$
Запишем результат в скобках после общего множителя $-m$:
$-m^3 - mnp = -m(m^2 + np)$
Ответ: $-m(m^2 + np)$

4) В многочлене $x^5y - x^4y^3 + x^3y^2$ нужно найти наибольший общий делитель для всех его членов и вынести его за скобки.
Для переменной $x$ наименьшая степень — 3, поэтому выносим $x^3$.
Для переменной $y$ наименьшая степень — 1, поэтому выносим $y$.
Общий множитель — $x^3y$. Теперь разделим каждый член многочлена на $x^3y$:
$x^5y \div (x^3y) = x^{5-3}y^{1-1} = x^2y^0 = x^2$
$-x^4y^3 \div (x^3y) = -x^{4-3}y^{3-1} = -x^1y^2 = -xy^2$
$x^3y^2 \div (x^3y) = x^{3-3}y^{2-1} = x^0y^1 = y$
Запишем полученные выражения в скобках:
$x^5y - x^4y^3 + x^3y^2 = x^3y(x^2 - xy^2 + y)$
Ответ: $x^3y(x^2 - xy^2 + y)$

543. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $4b + 16c;$

2) $12x - 15y;$

3) $-8a - 18b;$

4) $24x + 30y;$

5) $10mx - 15my;$

6) $x^2 + xy;$

7) $3d^2 - 3cd;$

8) $4a^2 + 16ab;$

9) $a^6 - a^3;$

10) $b^2 + b^8;$

11) $7p^3 - 5p;$

12) $15c^2d - 3cd;$

13) $14x^2y + 21xy^2;$

14) $-2x^9 + 16x^6;$

15) $8a^4b^2 - 36a^3b^7.$

1) 4b + 16c;
Чтобы вынести общий множитель из выражения $4b + 16c$, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 4 и 16. НОД(4, 16) = 4. Общих переменных у слагаемых нет. Таким образом, за скобки можно вынести 4. Разделив каждое слагаемое на 4, получим: $4b : 4 = b$ и $16c : 4 = 4c$.
$4b + 16c = 4(b + 4c)$.
Ответ: $4(b+4c)$

2) 12x - 15y;
Найдем НОД для коэффициентов 12 и 15. НОД(12, 15) = 3. Общих переменных нет. Выносим 3 за скобки. $12x : 3 = 4x$ и $-15y : 3 = -5y$.
$12x - 15y = 3(4x - 5y)$.
Ответ: $3(4x - 5y)$

3) -8a - 18b;
Найдем НОД для модулей коэффициентов 8 и 18. НОД(8, 18) = 2. Поскольку оба слагаемых отрицательны, удобно вынести за скобки отрицательный множитель -2. Делим каждое слагаемое на -2: $-8a : (-2) = 4a$ и $-18b : (-2) = 9b$.
$-8a - 18b = -2(4a + 9b)$.
Ответ: $-2(4a + 9b)$

4) 24x + 30y;
Найдем НОД для коэффициентов 24 и 30. НОД(24, 30) = 6. Общих переменных нет. Выносим 6 за скобки. $24x : 6 = 4x$ и $30y : 6 = 5y$.
$24x + 30y = 6(4x + 5y)$.
Ответ: $6(4x + 5y)$

5) 10mx - 15my;
Найдем НОД для коэффициентов 10 и 15, он равен 5. Оба слагаемых содержат общую переменную $m$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $5m$. Делим каждое слагаемое на $5m$: $10mx : (5m) = 2x$ и $-15my : (5m) = -3y$.
$10mx - 15my = 5m(2x - 3y)$.
Ответ: $5m(2x - 3y)$

6) x² + xy;
Оба слагаемых содержат переменную $x$. Общий множитель — это $x$ в наименьшей степени, то есть $x^1=x$. Выносим $x$ за скобки. $x^2 : x = x$ и $xy : x = y$.
$x^2 + xy = x(x + y)$.
Ответ: $x(x + y)$

7) 3d² - 3cd;
Общий числовой множитель равен 3. Оба слагаемых содержат переменную $d$. Наименьшая степень $d$ — первая, то есть $d^1=d$. Общий множитель — $3d$. Выносим его за скобки. $3d^2 : (3d) = d$ и $-3cd : (3d) = -c$.
$3d^2 - 3cd = 3d(d - c)$.
Ответ: $3d(d - c)$

8) 4a² + 16ab;
НОД коэффициентов 4 и 16 равен 4. Оба слагаемых содержат переменную $a$. Наименьшая степень $a$ — первая. Общий множитель — $4a$. Выносим его за скобки. $4a^2 : (4a) = a$ и $16ab : (4a) = 4b$.
$4a^2 + 16ab = 4a(a + 4b)$.
Ответ: $4a(a + 4b)$

9) a⁶ - a³;
Оба слагаемых являются степенями переменной $a$. Общий множитель — это $a$ в наименьшей степени, то есть $a^3$. Выносим $a^3$ за скобки. $a^6 : a^3 = a^{6-3} = a^3$ и $-a^3 : a^3 = -1$.
$a^6 - a^3 = a^3(a^3 - 1)$.
Ответ: $a^3(a^3 - 1)$

10) b² + b⁸;
Оба слагаемых являются степенями переменной $b$. Общий множитель — это $b$ в наименьшей степени, то есть $b^2$. Выносим $b^2$ за скобки. $b^2 : b^2 = 1$ и $b^8 : b^2 = b^{8-2} = b^6$.
$b^2 + b^8 = b^2(1 + b^6)$.
Ответ: $b^2(1 + b^6)$

11) 7p³ - 5p;
Коэффициенты 7 и 5 взаимно простые (НОД=1). Оба слагаемых содержат переменную $p$. Наименьшая степень $p$ — первая. Общий множитель — $p$. Выносим его за скобки. $7p^3 : p = 7p^2$ и $-5p : p = -5$.
$7p^3 - 5p = p(7p^2 - 5)$.
Ответ: $p(7p^2 - 5)$

12) 15c²d - 3cd;
НОД коэффициентов 15 и 3 равен 3. Оба слагаемых содержат переменные $c$ и $d$. Наименьшая степень для $c$ — первая ($c^1=c$), для $d$ — первая ($d^1=d$). Общий множитель — $3cd$. Выносим его за скобки. $15c^2d : (3cd) = 5c$ и $-3cd : (3cd) = -1$.
$15c^2d - 3cd = 3cd(5c - 1)$.
Ответ: $3cd(5c - 1)$

13) 14x²y + 21xy²;
НОД коэффициентов 14 и 21 равен 7. Оба слагаемых содержат переменные $x$ и $y$. Наименьшая степень для $x$ — первая ($x$), для $y$ — первая ($y$). Общий множитель — $7xy$. Выносим его за скобки. $14x^2y : (7xy) = 2x$ и $21xy^2 : (7xy) = 3y$.
$14x^2y + 21xy^2 = 7xy(2x + 3y)$.
Ответ: $7xy(2x + 3y)$

14) -2x⁹ + 16x⁶;
НОД модулей коэффициентов 2 и 16 равен 2. Оба слагаемых содержат переменную $x$. Наименьшая степень $x$ — шестая ($x^6$). Так как первый член отрицательный, вынесем за скобки $-2x^6$. Делим каждое слагаемое на $-2x^6$: $-2x^9 : (-2x^6) = x^3$ и $16x^6 : (-2x^6) = -8$.
$-2x^9 + 16x^6 = -2x^6(x^3 - 8)$.
Ответ: $-2x^6(x^3 - 8)$

15) 8a⁴b² - 36a³b⁷;
НОД коэффициентов 8 и 36 равен 4. Оба слагаемых содержат переменные $a$ и $b$. Наименьшая степень для $a$ — третья ($a^3$), для $b$ — вторая ($b^2$). Общий множитель — $4a^3b^2$. Выносим его за скобки. $8a^4b^2 : (4a^3b^2) = 2a$ и $-36a^3b^7 : (4a^3b^2) = -9b^5$.
$8a^4b^2 - 36a^3b^7 = 4a^3b^2(2a - 9b^5)$.
Ответ: $4a^3b^2(2a - 9b^5)$

544. Разложите на множители:

1) $3a + 6b;$

2) $12m - 16n;$

3) $10ck - 15cp;$

4) $8ax + 8a;$

5) $5b - 25bc;$

6) $14x^2 + 7x;$

7) $n^{10} - n^5;$

8) $m^6 + m^7;$

9) $9x - 27x^4;$

10) $18y^5 + 12y^4;$

11) $56a^{10}b^6 - 32a^4b^8;$

12) $36mn^5 + 63m^2n^6.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $3a + 6b$, найдем общий множитель для слагаемых. Наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов 3 и 6 равен 3. Общих переменных нет. Выносим 3 за скобки: $3a + 6b = 3 \cdot a + 3 \cdot 2b = 3(a + 2b)$.
Ответ: $3(a + 2b)$.

2) В выражении $12m - 16n$ найдем НОД коэффициентов 12 и 16. НОД(12, 16) = 4. Общих переменных нет. Выносим 4 за скобки: $12m - 16n = 4 \cdot 3m - 4 \cdot 4n = 4(3m - 4n)$.
Ответ: $4(3m - 4n)$.

3) В выражении $10ck - 15cp$ НОД коэффициентов 10 и 15 равен 5. Также оба слагаемых содержат общую переменную $c$. Таким образом, общий множитель равен $5c$. Выносим его за скобки: $10ck - 15cp = 5c \cdot 2k - 5c \cdot 3p = 5c(2k - 3p)$.
Ответ: $5c(2k - 3p)$.

4) В выражении $8ax + 8a$ общий множитель для коэффициентов равен 8. Оба слагаемых содержат переменную $a$. Общий множитель равен $8a$. Выносим его за скобки: $8ax + 8a = 8a \cdot x + 8a \cdot 1 = 8a(x + 1)$.
Ответ: $8a(x + 1)$.

5) В выражении $5b - 25bc$ НОД коэффициентов 5 и 25 равен 5. Общая переменная - $b$. Общий множитель равен $5b$. Выносим его за скобки: $5b - 25bc = 5b \cdot 1 - 5b \cdot 5c = 5b(1 - 5c)$.
Ответ: $5b(1 - 5c)$.

6) В выражении $14x^2 + 7x$ НОД коэффициентов 14 и 7 равен 7. Оба слагаемых содержат переменную $x$. Выносим переменную в наименьшей степени, то есть $x^1$ или просто $x$. Общий множитель равен $7x$: $14x^2 + 7x = 7x \cdot 2x + 7x \cdot 1 = 7x(2x + 1)$.
Ответ: $7x(2x + 1)$.

7) В выражении $n^{10} - n^5$ коэффициенты равны 1 и -1. Общая переменная - $n$. Выносим переменную в наименьшей степени, то есть $n^5$: $n^{10} - n^5 = n^5 \cdot n^{10-5} - n^5 \cdot 1 = n^5(n^5 - 1)$.
Ответ: $n^5(n^5 - 1)$.

8) В выражении $m^6 + m^7$ общая переменная - $m$. Выносим переменную в наименьшей степени, то есть $m^6$: $m^6 + m^7 = m^6 \cdot 1 + m^6 \cdot m^{7-6} = m^6(1 + m)$.
Ответ: $m^6(1 + m)$.

9) В выражении $9x - 27x^4$ НОД коэффициентов 9 и 27 равен 9. Общая переменная - $x$. Выносим $x$ в наименьшей степени, то есть $x^1$. Общий множитель равен $9x$: $9x - 27x^4 = 9x \cdot 1 - 9x \cdot 3x^3 = 9x(1 - 3x^3)$.
Ответ: $9x(1 - 3x^3)$.

10) В выражении $18y^5 + 12y^4$ НОД коэффициентов 18 и 12 равен 6. Общая переменная - $y$. Выносим $y$ в наименьшей степени, то есть $y^4$. Общий множитель равен $6y^4$: $18y^5 + 12y^4 = 6y^4 \cdot 3y + 6y^4 \cdot 2 = 6y^4(3y + 2)$.
Ответ: $6y^4(3y + 2)$.

11) В выражении $56a^{10}b^6 - 32a^4b^8$ НОД коэффициентов 56 и 32 равен 8. Для переменной $a$ наименьшая степень $a^4$. для переменной $b$ наименьшая степень $b^6$. Общий множитель равен $8a^4b^6$: $56a^{10}b^6 - 32a^4b^8 = 8a^4b^6 \cdot 7a^{10-4}b^{6-6} - 8a^4b^6 \cdot 4a^{4-4}b^{8-6} = 8a^4b^6(7a^6 - 4b^2)$.
Ответ: $8a^4b^6(7a^6 - 4b^2)$.

12) В выражении $36mn^5 + 63m^2n^6$ НОД коэффициентов 36 и 63 равен 9. Для переменной $m$ наименьшая степень $m^1$. для переменной $n$ наименьшая степень $n^5$. Общий множитель равен $9mn^5$: $36mn^5 + 63m^2n^6 = 9mn^5 \cdot 4 + 9mn^5 \cdot 7m^{2-1}n^{6-5} = 9mn^5(4 + 7mn)$.
Ответ: $9mn^5(4 + 7mn)$.

545. Вычислите, используя вынесение общего множителя за скобки:

1) $173^2 + 173 \cdot 27;$

2) $214 \cdot 314 - 214^2;$

3) $0,4^3 + 0,4^2 \cdot 0,6.$

1) $173^2 + 173 \cdot 27$

В данном выражении есть два слагаемых: $173^2$ и $173 \cdot 27$. Заметим, что $173^2$ можно представить как $173 \cdot 173$. Таким образом, выражение примет вид:

$173 \cdot 173 + 173 \cdot 27$

Общим множителем для обоих слагаемых является число 173. Вынесем его за скобки, используя распределительный закон умножения:

$173 \cdot (173 + 27)$

Теперь выполним вычисления по порядку. Сначала найдем сумму в скобках:

$173 + 27 = 200$

Затем умножим общий множитель на полученную сумму:

$173 \cdot 200 = 34600$

Ответ: $34600$

2) $214 \cdot 314 - 214^2$

В этом выражении $214^2$ можно представить как $214 \cdot 214$. Тогда выражение будет выглядеть так:

$214 \cdot 314 - 214 \cdot 214$

Общим множителем для уменьшаемого и вычитаемого является число 214. Вынесем его за скобки:

$214 \cdot (314 - 214)$

Вычислим разность в скобках:

$314 - 214 = 100$

Теперь умножим 214 на результат вычитания:

$214 \cdot 100 = 21400$

Ответ: $21400$

3) $0,4^3 + 0,4^2 \cdot 0,6$

Представим первое слагаемое $0,4^3$ в виде произведения $0,4^2 \cdot 0,4$. Выражение примет вид:

$0,4^2 \cdot 0,4 + 0,4^2 \cdot 0,6$

Общим множителем для двух слагаемых является $0,4^2$. Вынесем его за скобки:

$0,4^2 \cdot (0,4 + 0,6)$

Найдем сумму чисел в скобках:

$0,4 + 0,6 = 1$

Теперь нужно вычислить $0,4^2$ и умножить на 1. Сначала возведем 0,4 в квадрат:

$0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$

Умножим полученный результат на 1:

$0,16 \cdot 1 = 0,16$

Ответ: $0,16$

546. Найдите значение выражения:

1) $516^2 - 516 \cdot 513$;

2) $0,7^3 + 0,7 \cdot 0,51$;

3) $0,2^4 - 0,2^3 \cdot 1,2$.

1) В выражении $516^2 - 516 \cdot 513$ можно вынести за скобки общий множитель $516$.
$516^2 - 516 \cdot 513 = 516 \cdot (516 - 513)$
Сначала выполним действие в скобках:
$516 - 513 = 3$
Затем умножим полученное значение на вынесенный множитель:
$516 \cdot 3 = 1548$
Ответ: 1548

2) В выражении $0,7^3 + 0,7 \cdot 0,51$ вынесем за скобки общий множитель $0,7$. Для этого представим $0,7^3$ как $0,7 \cdot 0,7^2$.
$0,7 \cdot 0,7^2 + 0,7 \cdot 0,51 = 0,7 \cdot (0,7^2 + 0,51)$
Теперь выполним действия в скобках. Сначала возведем в степень:
$0,7^2 = 0,49$
Затем выполним сложение:
$0,49 + 0,51 = 1$
Умножим результат на общий множитель:
$0,7 \cdot 1 = 0,7$
Ответ: 0,7

3) В выражении $0,2^4 - 0,2^3 \cdot 1,2$ вынесем за скобки общий множитель $0,2^3$. Для этого представим $0,2^4$ как $0,2^3 \cdot 0,2$.
$0,2^3 \cdot 0,2 - 0,2^3 \cdot 1,2 = 0,2^3 \cdot (0,2 - 1,2)$
Вычислим значение в скобках:
$0,2 - 1,2 = -1$
Теперь вычислим значение $0,2^3$:
$0,2^3 = 0,008$
Перемножим полученные результаты:
$0,008 \cdot (-1) = -0,008$
Ответ: -0,008