Страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

511. Задумали четыре натуральных числа. Второе число на 1 больше первого, третье – на 5 больше второго, а четвёртое – на 2 больше третьего. Найдите эти числа, если $ \frac{a_1}{a_3} = \frac{a_2}{a_4} $.

Обозначим первое задуманное натуральное число переменной $x$.

Согласно условию задачи, выразим остальные три числа через $x$:

• Второе число на 1 больше первого, значит, оно равно $x + 1$.
• Третье число на 5 больше второго, значит, оно равно $(x + 1) + 5 = x + 6$.
• Четвертое число на 2 больше третьего, значит, оно равно $(x + 6) + 2 = x + 8$.

Также в условии сказано, что отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвертому. Составим пропорцию на основе этого утверждения:

$\frac{x}{x+6} = \frac{x+1}{x+8}$

Для решения этого уравнения применим основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$x \cdot (x+8) = (x+1) \cdot (x+6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 8x = x^2 + 6x + x + 6$

Упростим правую часть уравнения:

$x^2 + 8x = x^2 + 7x + 6$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$8x = 7x + 6$

Перенесем слагаемое $7x$ в левую часть с противоположным знаком:

$8x - 7x = 6$

$x = 6$

Мы нашли первое число. Теперь найдем остальные, подставив значение $x$:

• Первое число: $x = 6$.
• Второе число: $x + 1 = 6 + 1 = 7$.
• Третье число: $x + 6 = 6 + 6 = 12$.
• Четвертое число: $x + 8 = 6 + 8 = 14$.

Проверим, выполняется ли условие об отношении чисел:

$\frac{6}{12} = \frac{7}{14}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Равенство выполняется, и все найденные числа (6, 7, 12, 14) являются натуральными.

Ответ: 6, 7, 12, 14.

512. Задумали три натуральных числа. Второе число на 4 больше первого, а третье – на 6 больше второго. Найдите эти числа, если отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$.

Пусть первое задуманное натуральное число равно $x$.
Согласно условию, второе число на 4 больше первого, следовательно, оно равно $x + 4$.
Третье число на 6 больше второго, значит, оно равно $(x + 4) + 6 = x + 10$.
Из условия известно, что отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему. Составим и решим уравнение на основе этого условия, записав его в виде пропорции:
$\frac{x}{x + 4} = \frac{x + 4}{x + 10}$
Используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов:
$x \cdot (x + 10) = (x + 4) \cdot (x + 4)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 10x = (x + 4)^2$
$x^2 + 10x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$
$x^2 + 10x = x^2 + 8x + 16$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения, чтобы его упростить:
$10x = 8x + 16$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:
$10x - 8x = 16$
$2x = 16$
Найдем значение $x$:
$x = \frac{16}{2}$
$x = 8$
Итак, мы нашли первое число, оно равно 8.
Теперь найдем второе число:
$x + 4 = 8 + 4 = 12$
И третье число:
$x + 10 = 8 + 10 = 18$
Задуманные числа: 8, 12 и 18.
Проверим правильность решения. Числа натуральные. Второе число $12$ на 4 больше первого $8$ ($12 - 8 = 4$). Третье число $18$ на 6 больше второго $12$ ($18 - 12 = 6$). Проверим равенство отношений: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ и $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Все условия задачи выполнены.
Ответ: 8, 12, 18.

513. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого.

Обозначим искомые четыре последовательных натуральных числа через $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ — натуральное число.

По условию задачи, произведение четвертого ($n+3$) и второго ($n+1$) чисел на 17 больше произведения третьего ($n+2$) и первого ($n$) чисел. Составим на основе этого условия уравнение:

$(n+3)(n+1) = n(n+2) + 17$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях:

$n^2 + n + 3n + 3 = n^2 + 2n + 17$

Приведем подобные слагаемые:

$n^2 + 4n + 3 = n^2 + 2n + 17$

Вычтем $n^2$ из обеих частей уравнения:

$4n + 3 = 2n + 17$

Теперь перенесем члены, содержащие переменную $n$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$4n - 2n = 17 - 3$

$2n = 14$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти значение $n$:

$n = 7$

Таким образом, первое число в последовательности равно 7. Найдем остальные числа: второе число: $7+1 = 8$; третье число: $7+2 = 9$; четвертое число: $7+3 = 10$. Искомые числа: 7, 8, 9, 10.

Сделаем проверку. Произведение четвертого и второго чисел: $10 \cdot 8 = 80$. Произведение третьего и первого чисел: $9 \cdot 7 = 63$. Найдем разность этих произведений: $80 - 63 = 17$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 7, 8, 9, 10.

514. Найдите три последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа равны $n$, $n+1$ и $n+2$.

По условию задачи, произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого. Запишем это в виде математического уравнения:

$(n+1)(n+2) = n^2 + 50$

Для решения этого уравнения раскроем скобки в левой части:

$n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 50$

Приведем подобные слагаемые:

$n^2 + 3n + 2 = n^2 + 50$

Теперь вычтем $n^2$ из обеих частей уравнения:

$3n + 2 = 50$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$3n = 50 - 2$

$3n = 48$

Найдем $n$, разделив обе части уравнения на 3:

$n = \frac{48}{3}$

$n = 16$

Мы нашли первое число. Так как числа последовательные, найдем второе и третье:

• Первое число: $n = 16$
• Второе число: $n+1 = 16 + 1 = 17$
• Третье число: $n+2 = 16 + 2 = 18$

Таким образом, искомые числа — это 16, 17 и 18.

Выполним проверку:

Произведение второго и третьего чисел: $17 \cdot 18 = 306$.

Квадрат первого числа: $16^2 = 256$.

Найдем разность: $306 - 256 = 50$.

Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 16, 17, 18.

515. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны. Найдите сторону квадрата, если его площадь на 45 $см^2$ больше площади данного прямоугольника.

Обозначим длину стороны квадрата через $x$ см.

Согласно условию задачи, сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника. Обозначим эту сторону прямоугольника как $a$. Тогда можно записать следующее соотношение:
$x = a - 3$
Из этого выражения можно выразить сторону $a$:
$a = x + 3$ см.

Также, по условию, сторона квадрата на 5 см больше другой стороны прямоугольника. Обозначим эту вторую сторону как $b$. Тогда:
$x = b + 5$
Отсюда выразим сторону $b$:
$b = x - 5$ см.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется как квадрат его стороны: $S_{кв} = x^2$.
Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется как произведение его смежных сторон: $S_{пр} = a \cdot b$.
Подставив полученные выражения для сторон $a$ и $b$, получим формулу для площади прямоугольника через $x$:
$S_{пр} = (x + 3)(x - 5)$.

В задаче сказано, что площадь квадрата на 45 см² больше площади данного прямоугольника. Это можно записать в виде уравнения:
$S_{кв} = S_{пр} + 45$
Подставим выражения для площадей:
$x^2 = (x + 3)(x - 5) + 45$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов:
$x^2 = x^2 - 5x + 3x - 15 + 45$

Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 = x^2 - 2x + 30$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой. Для этого вычтем $x^2$ из обеих частей и прибавим $2x$:
$x^2 - x^2 + 2x = 30$
$2x = 30$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{30}{2}$
$x = 15$

Таким образом, сторона квадрата равна 15 см.

Выполним проверку:
Если сторона квадрата $x = 15$ см, то его площадь $S_{кв} = 15^2 = 225$ см².
Стороны прямоугольника будут равны:
$a = x + 3 = 15 + 3 = 18$ см.
$b = x - 5 = 15 - 5 = 10$ см.
Площадь прямоугольника $S_{пр} = 18 \cdot 10 = 180$ см².
Разница площадей: $S_{кв} - S_{пр} = 225 - 180 = 45$ см².
Это полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 15 см.

516. Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то его площадь уменьшится на 21 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 60 см, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$2(a + b) = 60$

Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму длин сторон:

$a + b = 30$

Из этого уравнения можно выразить одну сторону через другую, например, $b = 30 - a$.

Площадь исходного прямоугольника равна $S_1 = a \cdot b$.

Согласно условию, одну сторону уменьшили на 5 см (пусть это будет сторона $a$), а другую увеличили на 3 см (сторона $b$). Новые стороны будут равны $(a - 5)$ см и $(b + 3)$ см. Новая площадь прямоугольника $S_2$ будет равна:

$S_2 = (a - 5)(b + 3)$

Известно, что новая площадь на 21 см² меньше исходной, то есть $S_2 = S_1 - 21$. Составим второе уравнение, подставив выражения для площадей:

$(a - 5)(b + 3) = ab - 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} a + b = 30 \\ (a - 5)(b + 3) = ab - 21 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, раскрыв скобки в левой части:

$ab + 3a - 5b - 15 = ab - 21$

Вычтем $ab$ из обеих частей уравнения:

$3a - 5b - 15 = -21$

Перенесем -15 в правую часть:

$3a - 5b = -21 + 15$

$3a - 5b = -6$

Теперь решим систему уравнений методом подстановки. Подставим выражение $b = 30 - a$ из первого уравнения в упрощенное второе уравнение:

$3a - 5(30 - a) = -6$

Раскроем скобки:

$3a - 150 + 5a = -6$

Приведем подобные слагаемые:

$8a - 150 = -6$

$8a = 150 - 6$

$8a = 144$

$a = \frac{144}{8}$

$a = 18$

Мы нашли длину одной стороны. Теперь найдем вторую сторону, используя выражение $b = 30 - a$:

$b = 30 - 18 = 12$

Таким образом, стороны исходного прямоугольника равны 18 см и 12 см.

Выполним проверку:

Исходный периметр: $P_1 = 2(18 + 12) = 2 \cdot 30 = 60$ см. (Соответствует условию).

Исходная площадь: $S_1 = 18 \cdot 12 = 216$ см².

Новые стороны: $a' = 18 - 5 = 13$ см и $b' = 12 + 3 = 15$ см.

Новая площадь: $S_2 = 13 \cdot 15 = 195$ см².

Уменьшение площади: $S_1 - S_2 = 216 - 195 = 21$ см². (Соответствует условию).

Ответ: стороны прямоугольника равны 18 см и 12 см.

517. Длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Если длину увеличить на 2 см, а ширину уменьшить на 4 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 40 $\text{см}^2$. Найдите исходные длину и ширину прямоугольника.

Пусть исходная ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, его длина на 2 см больше ширины, следовательно, исходная длина равна $(x + 2)$ см. Площадь исходного прямоугольника $S_1$ вычисляется как произведение длины на ширину: $S_1 = (x + 2) \cdot x = x^2 + 2x$ (см$^2$).

После изменений длину увеличили на 2 см, и она стала равна $(x + 2) + 2 = (x + 4)$ см. Ширину уменьшили на 4 см, и она стала равна $(x - 4)$ см. Новая площадь прямоугольника $S_2$ составляет: $S_2 = (x + 4)(x - 4)$ (см$^2$).

По условию задачи, новая площадь оказалась на 40 см$^2$ меньше исходной. Это можно записать в виде уравнения: $S_1 - S_2 = 40$ $(x^2 + 2x) - (x + 4)(x - 4) = 40$

Решим полученное уравнение. Для выражения $(x + 4)(x - 4)$ применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $x^2 + 2x - (x^2 - 4^2) = 40$ $x^2 + 2x - (x^2 - 16) = 40$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные: $x^2 + 2x - x^2 + 16 = 40$

Приведем подобные слагаемые ($x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются): $2x + 16 = 40$

Перенесем 16 в правую часть уравнения: $2x = 40 - 16$ $2x = 24$

Найдем $x$: $x = \frac{24}{2}$ $x = 12$

Итак, исходная ширина прямоугольника составляет 12 см. Теперь найдем исходную длину: $l = x + 2 = 12 + 2 = 14$ см.

Проверка: Исходная площадь: $S_1 = 14 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 168 \text{ см}^2$. Новая длина: $14 + 2 = 16$ см. Новая ширина: $12 - 4 = 8$ см. Новая площадь: $S_2 = 16 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 128 \text{ см}^2$. Разница площадей: $S_1 - S_2 = 168 - 128 = 40 \text{ см}^2$. Условие задачи выполнено.

Ответ: исходная длина прямоугольника — 14 см, исходная ширина — 12 см.

518. Докажите тождество:

1) $x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7);$

2) $y^2(y - 7)(y + 2) = y^4 - 5y^3 - 14y^2;$

3) $a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4);$

4) $(a^4 - a^2 + 1)(a^4 + a^2 + 1) = a^8 + a^4 + 1.$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x-1)(x-7) = x \cdot x + x \cdot (-7) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-7) = x^2 - 7x - x + 7$

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$x^2 - (7x + x) + 7 = x^2 - 8x + 7$

Мы получили выражение, которое в точности совпадает с левой частью исходного равенства: $x^2 - 8x + 7 = x^2 - 8x + 7$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Для этого сначала перемножим выражения в скобках:

$(y-7)(y+2) = y \cdot y + y \cdot 2 - 7 \cdot y - 7 \cdot 2 = y^2 + 2y - 7y - 14 = y^2 - 5y - 14$

Теперь умножим полученный многочлен на $y^2$:

$y^2(y^2 - 5y - 14) = y^2 \cdot y^2 + y^2 \cdot (-5y) + y^2 \cdot (-14) = y^4 - 5y^3 - 14y^2$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью: $y^4 - 5y^3 - 14y^2 = y^4 - 5y^3 - 14y^2$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Данное тождество является примером формулы сокращенного умножения "разность кубов": $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В левой части равенства стоит выражение $a^3 - 8$, которое можно записать как $a^3 - 2^3$. Здесь $a$ соответствует $a$, а $b$ соответствует $2$.

Применим формулу к левой части:

$a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Также можно доказать тождество, раскрыв скобки в правой части:

$(a-2)(a^2 + 2a + 4) = a \cdot (a^2 + 2a + 4) - 2 \cdot (a^2 + 2a + 4) = a^3 + 2a^2 + 4a - 2a^2 - 4a - 8$

После приведения подобных слагаемых ($2a^2$ и $-2a^2$, $4a$ и $-4a$) получаем:

$a^3 - 8$

Правая часть равна левой.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства этого тождества преобразуем левую часть. Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$.

Представим левую часть в виде: $((a^4 + 1) - a^2)((a^4 + 1) + a^2)$.

В данном случае $A = a^4 + 1$ и $B = a^2$. Применяем формулу:

$((a^4 + 1) - a^2)((a^4 + 1) + a^2) = (a^4 + 1)^2 - (a^2)^2$

Теперь раскроем скобки. Для $(a^4 + 1)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$(a^4 + 1)^2 = (a^4)^2 + 2 \cdot a^4 \cdot 1 + 1^2 = a^8 + 2a^4 + 1$

Второе слагаемое $(a^2)^2 = a^4$.

Подставим полученные выражения обратно и упростим:

$(a^8 + 2a^4 + 1) - a^4 = a^8 + (2a^4 - a^4) + 1 = a^8 + a^4 + 1$

Преобразованная левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.

519. Докажите тождество:

1) $3a^2 + 10a + 3 = 3(a + 3)\left(a + \frac{1}{3}\right);$

2) $(a + 1)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 3a + 2)(a + 3).$

1) Для доказательства тождества $3a^2 + 10a + 3 = 3(a+3)(a + \frac{1}{3})$ преобразуем его правую часть, выполнив умножение.
Сначала раскроем скобки $(a+3)(a + \frac{1}{3})$:
$(a+3)(a + \frac{1}{3}) = a \cdot a + a \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot a + 3 \cdot \frac{1}{3} = a^2 + \frac{1}{3}a + 3a + 1$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (\frac{1}{3} + 3)a + 1 = a^2 + (\frac{1}{3} + \frac{9}{3})a + 1 = a^2 + \frac{10}{3}a + 1$
Теперь умножим полученное выражение на 3:
$3(a^2 + \frac{10}{3}a + 1) = 3 \cdot a^2 + 3 \cdot \frac{10}{3}a + 3 \cdot 1 = 3a^2 + 10a + 3$
В результате преобразования правая часть тождества стала равна $3a^2 + 10a + 3$, что совпадает с левой частью. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, так как после раскрытия скобок в правой части получается выражение, идентичное левой части: $3a^2 + 10a + 3$.

2) Для доказательства тождества $(a+1)(a^2+5a+6) = (a^2+3a+2)(a+3)$ преобразуем обе его части, разложив на множители квадратные трехчлены.
Преобразуем левую часть $(a+1)(a^2+5a+6)$.
Разложим на множители трехчлен $a^2+5a+6$. Корнями уравнения $a^2+5a+6=0$ являются числа $-2$ и $-3$. Таким образом, $a^2+5a+6 = (a+2)(a+3)$.
Подставив это в левую часть, получаем: $(a+1)(a+2)(a+3)$.
Теперь преобразуем правую часть $(a^2+3a+2)(a+3)$.
Разложим на множители трехчлен $a^2+3a+2$. Корнями уравнения $a^2+3a+2=0$ являются числа $-1$ и $-2$. Таким образом, $a^2+3a+2 = (a+1)(a+2)$.
Подставив это в правую часть, получаем: $(a+1)(a+2)(a+3)$.
Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $(a+1)(a+2)(a+3)$. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, так как после разложения на множители обе части равны одному и тому же выражению $(a+1)(a+2)(a+3)$.

520. При всех ли натуральных значениях $n$ значение выражения $(n + 9) \times (n + 11) - (n + 3)(n + 5)$ кратно 12?

Чтобы проверить, кратно ли значение выражения $(n + 9)(n + 11) - (n + 3)(n + 5)$ числу 12 при всех натуральных $n$, необходимо это выражение упростить.

1. Раскроем скобки в каждом произведении, используя формулу $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$.

Первое произведение:

$(n + 9)(n + 11) = n \cdot n + n \cdot 11 + 9 \cdot n + 9 \cdot 11 = n^2 + 11n + 9n + 99 = n^2 + 20n + 99$

Второе произведение:

$(n + 3)(n + 5) = n \cdot n + n \cdot 5 + 3 \cdot n + 3 \cdot 5 = n^2 + 5n + 3n + 15 = n^2 + 8n + 15$

2. Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:

$(n^2 + 20n + 99) - (n^2 + 8n + 15)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$n^2 + 20n + 99 - n^2 - 8n - 15$

3. Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (20n - 8n) + (99 - 15) = 0 + 12n + 84 = 12n + 84$

4. Проанализируем полученное выражение $12n + 84$ на делимость на 12. Для этого вынесем общий множитель за скобку.

$12n + 84 = 12 \cdot n + 12 \cdot 7 = 12(n + 7)$

По условию задачи $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$. Это означает, что сумма $(n+7)$ также всегда будет целым числом. Поскольку исходное выражение можно представить в виде произведения числа 12 и целого числа $(n+7)$, оно по определению делится на 12 без остатка при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Да, при всех натуральных значениях $n$ значение данного выражения кратно 12.

521. При всех ли натуральных значениях n значение выражения $ (n + 29) \times (n + 3) - (n + 7)(n + 1) $ кратно 8?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проверить его на делимость на 8.

Рассмотрим выражение: $(n + 29)(n + 3) - (n + 7)(n + 1)$.

1. Раскроем скобки в первом произведении, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(n + 29)(n + 3) = n \cdot n + n \cdot 3 + 29 \cdot n + 29 \cdot 3 = n^2 + 3n + 29n + 87 = n^2 + 32n + 87$

2. Раскроем скобки во втором произведении:

$(n + 7)(n + 1) = n \cdot n + n \cdot 1 + 7 \cdot n + 7 \cdot 1 = n^2 + n + 7n + 7 = n^2 + 8n + 7$

3. Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:

$(n^2 + 32n + 87) - (n^2 + 8n + 7)$

Раскрываем скобки, меняя знаки во втором многочлене на противоположные:

$n^2 + 32n + 87 - n^2 - 8n - 7$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (32n - 8n) + (87 - 7) = 0 + 24n + 80 = 24n + 80$

5. Теперь нам нужно определить, кратно ли выражение $24n + 80$ числу 8. Для этого вынесем общий множитель 8 за скобки:

$24n + 80 = 8 \cdot 3n + 8 \cdot 10 = 8(3n + 10)$

По условию, $n$ — натуральное число. Это значит, что $n$ может быть любым целым положительным числом ($1, 2, 3, \ldots$).

Если $n$ — натуральное число, то $3n$ также будет натуральным числом. Сумма натурального числа $3n$ и целого числа 10, то есть $3n + 10$, всегда будет целым числом. Поскольку полученное выражение имеет вид $8 \cdot k$, где $k = 3n + 10$ и $k$ является целым числом, то все значение выражения делится на 8 без остатка при любом натуральном $n$.

Ответ: Да, при всех натуральных значениях $n$ значение данного выражения кратно 8.

522. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(a - 2)(* + 6) = a^2 + * - *;$

2) $(2a + 7)(a - *) = * + * - 14.$

1) Рассмотрим тождество $(a-2)(*+6) = a^2 + * - *$.

Для того чтобы в правой части получить член $a^2$, необходимо, чтобы первая звёздочка в левой части была одночленом $a$, так как при раскрытии скобок $a$ из первого множителя умножается на член с переменной $a$ из второго множителя. Подставим $a$ вместо первой звёздочки и раскроем скобки:

$(a-2)(a+6) = a \cdot a + a \cdot 6 - 2 \cdot a - 2 \cdot 6 = a^2 + 6a - 2a - 12$.

Приведём подобные слагаемые в полученном выражении:

$a^2 + (6a - 2a) - 12 = a^2 + 4a - 12$.

Теперь сравним результат с правой частью исходного тождества $a^2 + * - *$. Очевидно, что вторая звёздочка соответствует слагаемому $4a$, а третья — числу $12$.

Таким образом, искомое тождество имеет вид:

$(a-2)(a+6) = a^2 + 4a - 12$.

Ответ: $(a-2)(a+6) = a^2 + 4a - 12$.

2) Рассмотрим тождество $(2a+7)(a-*) = * + * - 14$.

В правой части тождества свободный член (не содержащий переменную) равен $-14$. В левой части он получается умножением свободных членов из скобок: $7$ и $-*$. Обозначим первую звёздочку за $x$. Тогда $7 \cdot (-x) = -14$. Решив это уравнение, получаем $x=2$.

Подставим $2$ вместо первой звёздочки и раскроем скобки в левой части:

$(2a+7)(a-2) = 2a \cdot a - 2a \cdot 2 + 7 \cdot a - 7 \cdot 2 = 2a^2 - 4a + 7a - 14$.

Приведём подобные слагаемые:

$2a^2 + (-4a+7a) - 14 = 2a^2 + 3a - 14$.

Сравнивая результат с правой частью исходного тождества $* + * - 14$, мы видим, что оставшиеся две звёздочки — это одночлены $2a^2$ и $3a$.

Таким образом, искомое тождество имеет вид:

$(2a+7)(a-2) = 2a^2 + 3a - 14$.

Ответ: $(2a+7)(a-2) = 2a^2 + 3a - 14$.