Номер 522, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 522, страница 90.

Условие.

522. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(a - 2)(* + 6) = a^2 + * - *;$

2) $(2a + 7)(a - *) = * + * - 14.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Рассмотрим тождество $(a-2)(*+6) = a^2 + * - *$.

Для того чтобы в правой части получить член $a^2$, необходимо, чтобы первая звёздочка в левой части была одночленом $a$, так как при раскрытии скобок $a$ из первого множителя умножается на член с переменной $a$ из второго множителя. Подставим $a$ вместо первой звёздочки и раскроем скобки:

$(a-2)(a+6) = a \cdot a + a \cdot 6 - 2 \cdot a - 2 \cdot 6 = a^2 + 6a - 2a - 12$.

Приведём подобные слагаемые в полученном выражении:

$a^2 + (6a - 2a) - 12 = a^2 + 4a - 12$.

Теперь сравним результат с правой частью исходного тождества $a^2 + * - *$. Очевидно, что вторая звёздочка соответствует слагаемому $4a$, а третья — числу $12$.

Таким образом, искомое тождество имеет вид:

$(a-2)(a+6) = a^2 + 4a - 12$.

Ответ: $(a-2)(a+6) = a^2 + 4a - 12$.

2) Рассмотрим тождество $(2a+7)(a-*) = * + * - 14$.

В правой части тождества свободный член (не содержащий переменную) равен $-14$. В левой части он получается умножением свободных членов из скобок: $7$ и $-*$. Обозначим первую звёздочку за $x$. Тогда $7 \cdot (-x) = -14$. Решив это уравнение, получаем $x=2$.

Подставим $2$ вместо первой звёздочки и раскроем скобки в левой части:

$(2a+7)(a-2) = 2a \cdot a - 2a \cdot 2 + 7 \cdot a - 7 \cdot 2 = 2a^2 - 4a + 7a - 14$.

Приведём подобные слагаемые:

$2a^2 + (-4a+7a) - 14 = 2a^2 + 3a - 14$.

Сравнивая результат с правой частью исходного тождества $* + * - 14$, мы видим, что оставшиеся две звёздочки — это одночлены $2a^2$ и $3a$.

Таким образом, искомое тождество имеет вид:

$(2a+7)(a-2) = 2a^2 + 3a - 14$.

Ответ: $(2a+7)(a-2) = 2a^2 + 3a - 14$.