Номер 529, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 529, страница 91.

Условие.

529. Остаток при делении натурального числа $a$ на $8$ равен $3$, а остаток при делении натурального числа $b$ на $8$ равен $7$. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на $8$ равен $5$.

Решение 1.

Решение 5.

По условию, остаток при делении натурального числа $a$ на 8 равен 3. Это означает, что число $a$ можно представить в виде:

$a = 8k + 3$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Аналогично, остаток при делении натурального числа $b$ на 8 равен 7. Это означает, что число $b$ можно представить в виде:

$b = 8m + 7$, где $m$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Чтобы доказать утверждение, найдем произведение чисел $a$ и $b$, подставив в него эти выражения:

$a \cdot b = (8k + 3) \cdot (8m + 7)$

Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$a \cdot b = 8k \cdot 8m + 8k \cdot 7 + 3 \cdot 8m + 3 \cdot 7$

Выполним умножение:

$a \cdot b = 64km + 56k + 24m + 21$

Наша цель — представить это произведение в форме $8q + r$, где $r$ будет искомым остатком. Для этого сгруппируем все слагаемые, которые содержат множитель 8:

$a \cdot b = (64km + 56k + 24m) + 21$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$a \cdot b = 8(8km + 7k + 3m) + 21$

Теперь рассмотрим число 21. Его можно представить в виде суммы числа, кратного 8, и остатка от деления на 8:

$21 = 16 + 5 = 8 \cdot 2 + 5$

Подставим это разложение в наше выражение для произведения $a \cdot b$:

$a \cdot b = 8(8km + 7k + 3m) + (8 \cdot 2 + 5)$

Снова вынесем общий множитель 8 за скобки:

$a \cdot b = 8(8km + 7k + 3m + 2) + 5$

Обозначим выражение в скобках как $q = 8km + 7k + 3m + 2$. Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, то $q$ также будет целым числом. Таким образом, мы получаем:

$a \cdot b = 8q + 5$

Это равенство по определению означает, что при делении произведения $a \cdot b$ на 8 получается неполное частное $q$ и остаток 5. Что и требовалось доказать.

Ответ: остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на 8 равен 5.