Номер 527, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 527, страница 91.

Условие.

527. Остаток при делении натурального числа $x$ на 6 равен 3, а остаток при делении натурального числа $y$ на 6 равен 2. Докажите, что произведение чисел $x$ и $y$ делится нацело на 6.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Согласно определению деления с остатком, условие, что остаток при делении натурального числа $x$ на 6 равен 3, можно записать в виде:
$x = 6k + 3$, где $k$ — это частное от деления, являющееся некоторым неотрицательным целым числом.

Аналогично, условие, что остаток при делении натурального числа $y$ на 6 равен 2, можно записать в виде:
$y = 6m + 2$, где $m$ — это частное от деления, также являющееся некоторым неотрицательным целым числом.

Требуется доказать, что произведение $x \cdot y$ делится нацело на 6. Найдем это произведение, подставив выражения для $x$ и $y$:
$x \cdot y = (6k + 3)(6m + 2)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:
$x \cdot y = 6k \cdot 6m + 6k \cdot 2 + 3 \cdot 6m + 3 \cdot 2$
$x \cdot y = 36km + 12k + 18m + 6$

Чтобы доказать, что полученное выражение делится на 6, вынесем общий множитель 6 за скобки:
$x \cdot y = 6(6km + 2k + 3m + 1)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то и результат выражения в скобках, $6km + 2k + 3m + 1$, также будет целым числом. Обозначим это целое число как $N$. Тогда произведение можно записать в виде $x \cdot y = 6N$.
Это означает, что произведение чисел $x$ и $y$ является кратным числу 6, то есть делится на 6 нацело. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как произведение $xy$ можно представить в виде $6(6km + 2k + 3m + 1)$, что является произведением числа 6 и целого числа, а значит, делится на 6 нацело.