Номер 530, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 530, страница 91.

Условие.

530. Остаток при делении натурального числа $m$ на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа $n$ на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $m$ и $n$ на 11 равен 1.

Решение 1.

Решение 5.

По условию, остаток при делении натурального числа $m$ на 11 равен 9. Согласно определению деления с остатком, это означает, что число $m$ можно представить в виде:

$m = 11k + 9$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Аналогично, остаток при делении натурального числа $n$ на 11 равен 5. Это означает, что число $n$ можно представить в виде:

$n = 11l + 5$, где $l$ — некоторое целое неотрицательное число.

Чтобы найти остаток от деления произведения $m \cdot n$ на 11, перемножим эти выражения:

$m \cdot n = (11k + 9)(11l + 5)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$m \cdot n = 11k \cdot 11l + 11k \cdot 5 + 9 \cdot 11l + 9 \cdot 5$

$m \cdot n = 121kl + 55k + 99l + 45$

Теперь преобразуем полученное выражение, чтобы выделить слагаемые, кратные 11. Заметим, что первые три слагаемых делятся на 11. Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$m \cdot n = 11(11kl + 5k + 9l) + 45$

Из этого выражения видно, что остаток от деления $m \cdot n$ на 11 зависит только от остатка при делении числа 45 на 11, так как первое слагаемое $11(11kl + 5k + 9l)$ делится на 11 нацело.

Найдем остаток от деления 45 на 11:

$45 = 4 \cdot 11 + 1$

Остаток равен 1. Теперь подставим выражение $45 = 11 \cdot 4 + 1$ в нашу формулу для произведения:

$m \cdot n = 11(11kl + 5k + 9l) + (11 \cdot 4 + 1)$

Снова вынесем общий множитель 11 за скобки:

$m \cdot n = 11(11kl + 5k + 9l + 4) + 1$

Пусть $Q = 11kl + 5k + 9l + 4$. Так как $k$ и $l$ — целые числа, то и $Q$ является целым числом. Тогда мы имеем:

$m \cdot n = 11Q + 1$

Эта запись по определению означает, что при делении произведения $m \cdot n$ на 11 получается остаток 1.

Ответ: Утверждение доказано. Остаток при делении произведения чисел $m$ и $n$ на 11 равен 1.