Номер 526, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 526, страница 91.

Условие.

526. Докажите, что значение выражения $ \overline{ab} \cdot \overline{ba} - ab $ делится нацело на 10 независимо от значений $a$ и $b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что значение выражения делится на 10, необходимо преобразовать его и показать, что оно имеет множитель 10.

Запись $\overline{ab}$ обозначает двузначное число, где a — цифра десятков, а b — цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число можно представить как:
$\overline{ab} = 10a + b$

Аналогично, запись $\overline{ba}$ обозначает двузначное число, где b — цифра десятков, а a — цифра единиц:
$\overline{ba} = 10b + a$

Подставим эти представления в исходное выражение $\overline{ab} \cdot \overline{ba} - ab$:
$(10a + b)(10b + a) - ab$

Раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:
$10a \cdot 10b + 10a \cdot a + b \cdot 10b + b \cdot a - ab = 100ab + 10a^2 + 10b^2 + ab - ab$

Приведем подобные слагаемые:
$100ab + 10a^2 + 10b^2 + (ab - ab) = 100ab + 10a^2 + 10b^2$

Теперь вынесем общий множитель 10 за скобки:
$10(10ab + a^2 + b^2)$

Так как a и b являются цифрами, то они — целые числа. Следовательно, выражение в скобках $(10ab + a^2 + b^2)$ также является целым числом.

В итоге мы представили исходное выражение в виде произведения числа 10 и некоторого целого числа. Согласно определению делимости, если один из множителей в произведении равен 10, то все произведение делится на 10 нацело. Это справедливо для любых цифр a и b (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$, чтобы числа $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ были двузначными).

Ответ: Мы доказали, что выражение $\overline{ab} \cdot \overline{ba} - ab$ можно преобразовать к виду $10(10ab + a^2 + b^2)$. Так как полученное выражение содержит множитель 10, оно делится нацело на 10 независимо от значений a и b, что и требовалось доказать.