Номер 528, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 528, страница 91.

Условие.

528. Докажите, что если $ab + bc + ac = 0$, то $(a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = a^2 + b^2 + c^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства утверждения преобразуем левую часть равенства $(a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b)$, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в каждом из трех слагаемых:

• $(a-b)(a-c) = a^2 - ac - ab + bc$
• $(b-c)(b-a) = b^2 - ab - bc + ac$
• $(c-a)(c-b) = c^2 - cb - ac + ab = c^2 - bc - ac + ab$

2. Сложим полученные выражения:

$(a^2 - ac - ab + bc) + (b^2 - ab - bc + ac) + (c^2 - bc - ac + ab)$

3. Сгруппируем подобные члены:

$(a^2 + b^2 + c^2) + (-ab - ab + ab) + (bc - bc - bc) + (-ac + ac - ac)$

4. Упростим выражение:

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$

5. Вынесем знак минус за скобки у последних трех членов:

$a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$

6. Теперь используем условие, данное в задаче: $ab + bc + ac = 0$. Подставим это значение в наше преобразованное выражение:

$a^2 + b^2 + c^2 - (0) = a^2 + b^2 + c^2$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства тождественно равна правой части при заданном условии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Путем алгебраических преобразований левая часть выражения $(a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b)$ была сведена к $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ac)$. Используя условие $ab + bc + ac = 0$, мы получаем, что выражение равно $a^2 + b^2 + c^2$.