Номер 534, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 534, страница 91.

Условие.

534. Докажите тождество:

1) $18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n}$,

2) $75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n}$,

где $n$ - натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Для доказательства тождества $18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n}$ преобразуем его правую часть к виду левой части. Для этого разложим основания степеней (12 и 9) на простые множители и воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^m = a^m b^m$, $(a^m)^k = a^{mk}$ и $a^m a^k = a^{m+k}$.

Преобразуем правую часть:

$12^{8n} \cdot 9^{12n} = (2^2 \cdot 3)^{8n} \cdot (3^2)^{12n}$

Применяя свойства степеней, получаем:

$(2^2)^{8n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{2 \cdot 12n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{24n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n+24n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n}$

Теперь сгруппируем множители так, чтобы получить основание 18:

$2^{16n} \cdot 3^{32n} = 2^{16n} \cdot (3^2)^{16n} = (2 \cdot 3^2)^{16n} = (2 \cdot 9)^{16n} = 18^{16n}$

Таким образом, мы показали, что правая часть равна левой: $18^{16n} = 18^{16n}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n}$ поступим аналогично, преобразовав правую часть равенства.

Разложим основания 225 и 625 на простые множители:

$225 = 3^2 \cdot 5^2$

$625 = 5^4$

Подставим эти разложения в правую часть и преобразуем, используя свойства степеней:

$225^{4n} \cdot 625^{2n} = (3^2 \cdot 5^2)^{4n} \cdot (5^4)^{2n} = (3^2)^{4n} \cdot (5^2)^{4n} \cdot 5^{4 \cdot 2n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \cdot 5^{8n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n+8n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n}$

Сгруппируем множители для получения основания 75:

$3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot (5^2)^{8n} = (3 \cdot 5^2)^{8n} = (3 \cdot 25)^{8n} = 75^{8n}$

Правая часть равна левой: $75^{8n} = 75^{8n}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.