Номер 523, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 523, страница 91.

Условие.

523. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(x+3)(*+5) = 3x^2 + * + *;$

2) $(x-4)(x+*) = * + * + 24.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Рассмотрим тождество $(x + 3)(* + 5) = 3x^2 + * + *$.

В левой части равенства находится произведение двух многочленов. Правая часть — это результат этого произведения. Слагаемое $3x^2$ в правой части может быть получено только при умножении слагаемого $x$ из первой скобки на слагаемое с $x$ из второй скобки. Обозначим неизвестный одночлен во второй скобке (первую звёздочку) как $A$. Тогда должно выполняться равенство:

$x \cdot A = 3x^2$

Отсюда находим $A$:

$A = \frac{3x^2}{x} = 3x$

Таким образом, первая звёздочка — это одночлен $3x$. Теперь тождество выглядит так:

$(x + 3)(3x + 5) = 3x^2 + * + *$

Чтобы найти остальные одночлены, раскроем скобки в левой части по правилу умножения многочленов:

$(x + 3)(3x + 5) = x \cdot 3x + x \cdot 5 + 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 = 3x^2 + 5x + 9x + 15$

Приведём подобные слагаемые:

$3x^2 + (5x + 9x) + 15 = 3x^2 + 14x + 15$

Теперь мы видим, что правая часть тождества равна $3x^2 + 14x + 15$. Значит, две оставшиеся звёздочки — это одночлены $14x$ и $15$.

Ответ: $(x + 3)(3x + 5) = 3x^2 + 14x + 15$.

2)

Рассмотрим тождество $(x - 4)(x + *) = * + * + 24$.

В правой части тождества есть свободный член (число) $24$. При раскрытии скобок в левой части свободный член получается в результате перемножения свободных членов из каждой скобки. Обозначим неизвестный одночлен во второй скобке (звёздочку в левой части) как $B$. Тогда должно выполняться равенство:

$(-4) \cdot B = 24$

Отсюда находим $B$:

$B = \frac{24}{-4} = -6$

Таким образом, звёздочка в левой части — это $-6$. Теперь тождество выглядит так:

$(x - 4)(x - 6) = * + * + 24$

Чтобы найти одночлены в правой части, раскроем скобки слева:

$(x - 4)(x - 6) = x \cdot x + x \cdot (-6) - 4 \cdot x - 4 \cdot (-6) = x^2 - 6x - 4x + 24$

Приведём подобные слагаемые:

$x^2 + (-6x - 4x) + 24 = x^2 - 10x + 24$

Сравнивая полученный результат с правой частью $* + * + 24$, мы видим, что две звёздочки в правой части — это одночлены $x^2$ и $-10x$.

Ответ: $(x - 4)(x - 6) = x^2 - 10x + 24$.