Номер 517, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 517, страница 90.

Условие.

517. Длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Если длину увеличить на 2 см, а ширину уменьшить на 4 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 40 $\text{см}^2$. Найдите исходные длину и ширину прямоугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть исходная ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, его длина на 2 см больше ширины, следовательно, исходная длина равна $(x + 2)$ см. Площадь исходного прямоугольника $S_1$ вычисляется как произведение длины на ширину: $S_1 = (x + 2) \cdot x = x^2 + 2x$ (см$^2$).

После изменений длину увеличили на 2 см, и она стала равна $(x + 2) + 2 = (x + 4)$ см. Ширину уменьшили на 4 см, и она стала равна $(x - 4)$ см. Новая площадь прямоугольника $S_2$ составляет: $S_2 = (x + 4)(x - 4)$ (см$^2$).

По условию задачи, новая площадь оказалась на 40 см$^2$ меньше исходной. Это можно записать в виде уравнения: $S_1 - S_2 = 40$ $(x^2 + 2x) - (x + 4)(x - 4) = 40$

Решим полученное уравнение. Для выражения $(x + 4)(x - 4)$ применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $x^2 + 2x - (x^2 - 4^2) = 40$ $x^2 + 2x - (x^2 - 16) = 40$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные: $x^2 + 2x - x^2 + 16 = 40$

Приведем подобные слагаемые ($x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются): $2x + 16 = 40$

Перенесем 16 в правую часть уравнения: $2x = 40 - 16$ $2x = 24$

Найдем $x$: $x = \frac{24}{2}$ $x = 12$

Итак, исходная ширина прямоугольника составляет 12 см. Теперь найдем исходную длину: $l = x + 2 = 12 + 2 = 14$ см.

Проверка: Исходная площадь: $S_1 = 14 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 168 \text{ см}^2$. Новая длина: $14 + 2 = 16$ см. Новая ширина: $12 - 4 = 8$ см. Новая площадь: $S_2 = 16 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 128 \text{ см}^2$. Разница площадей: $S_1 - S_2 = 168 - 128 = 40 \text{ см}^2$. Условие задачи выполнено.

Ответ: исходная длина прямоугольника — 14 см, исходная ширина — 12 см.