Номер 519, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 519, страница 90.

Условие.

519. Докажите тождество:

1) $3a^2 + 10a + 3 = 3(a + 3)\left(a + \frac{1}{3}\right);$

2) $(a + 1)(a^2 + 5a + 6) = (a^2 + 3a + 2)(a + 3).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для доказательства тождества $3a^2 + 10a + 3 = 3(a+3)(a + \frac{1}{3})$ преобразуем его правую часть, выполнив умножение.
Сначала раскроем скобки $(a+3)(a + \frac{1}{3})$:
$(a+3)(a + \frac{1}{3}) = a \cdot a + a \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot a + 3 \cdot \frac{1}{3} = a^2 + \frac{1}{3}a + 3a + 1$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (\frac{1}{3} + 3)a + 1 = a^2 + (\frac{1}{3} + \frac{9}{3})a + 1 = a^2 + \frac{10}{3}a + 1$
Теперь умножим полученное выражение на 3:
$3(a^2 + \frac{10}{3}a + 1) = 3 \cdot a^2 + 3 \cdot \frac{10}{3}a + 3 \cdot 1 = 3a^2 + 10a + 3$
В результате преобразования правая часть тождества стала равна $3a^2 + 10a + 3$, что совпадает с левой частью. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, так как после раскрытия скобок в правой части получается выражение, идентичное левой части: $3a^2 + 10a + 3$.

2) Для доказательства тождества $(a+1)(a^2+5a+6) = (a^2+3a+2)(a+3)$ преобразуем обе его части, разложив на множители квадратные трехчлены.
Преобразуем левую часть $(a+1)(a^2+5a+6)$.
Разложим на множители трехчлен $a^2+5a+6$. Корнями уравнения $a^2+5a+6=0$ являются числа $-2$ и $-3$. Таким образом, $a^2+5a+6 = (a+2)(a+3)$.
Подставив это в левую часть, получаем: $(a+1)(a+2)(a+3)$.
Теперь преобразуем правую часть $(a^2+3a+2)(a+3)$.
Разложим на множители трехчлен $a^2+3a+2$. Корнями уравнения $a^2+3a+2=0$ являются числа $-1$ и $-2$. Таким образом, $a^2+3a+2 = (a+1)(a+2)$.
Подставив это в правую часть, получаем: $(a+1)(a+2)(a+3)$.
Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $(a+1)(a+2)(a+3)$. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, так как после разложения на множители обе части равны одному и тому же выражению $(a+1)(a+2)(a+3)$.