Номер 516, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 516, страница 90.

Условие.

516. Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то его площадь уменьшится на 21 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ сантиметров.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 60 см, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$2(a + b) = 60$

Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму длин сторон:

$a + b = 30$

Из этого уравнения можно выразить одну сторону через другую, например, $b = 30 - a$.

Площадь исходного прямоугольника равна $S_1 = a \cdot b$.

Согласно условию, одну сторону уменьшили на 5 см (пусть это будет сторона $a$), а другую увеличили на 3 см (сторона $b$). Новые стороны будут равны $(a - 5)$ см и $(b + 3)$ см. Новая площадь прямоугольника $S_2$ будет равна:

$S_2 = (a - 5)(b + 3)$

Известно, что новая площадь на 21 см² меньше исходной, то есть $S_2 = S_1 - 21$. Составим второе уравнение, подставив выражения для площадей:

$(a - 5)(b + 3) = ab - 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} a + b = 30 \\ (a - 5)(b + 3) = ab - 21 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, раскрыв скобки в левой части:

$ab + 3a - 5b - 15 = ab - 21$

Вычтем $ab$ из обеих частей уравнения:

$3a - 5b - 15 = -21$

Перенесем -15 в правую часть:

$3a - 5b = -21 + 15$

$3a - 5b = -6$

Теперь решим систему уравнений методом подстановки. Подставим выражение $b = 30 - a$ из первого уравнения в упрощенное второе уравнение:

$3a - 5(30 - a) = -6$

Раскроем скобки:

$3a - 150 + 5a = -6$

Приведем подобные слагаемые:

$8a - 150 = -6$

$8a = 150 - 6$

$8a = 144$

$a = \frac{144}{8}$

$a = 18$

Мы нашли длину одной стороны. Теперь найдем вторую сторону, используя выражение $b = 30 - a$:

$b = 30 - 18 = 12$

Таким образом, стороны исходного прямоугольника равны 18 см и 12 см.

Выполним проверку:

Исходный периметр: $P_1 = 2(18 + 12) = 2 \cdot 30 = 60$ см. (Соответствует условию).

Исходная площадь: $S_1 = 18 \cdot 12 = 216$ см².

Новые стороны: $a' = 18 - 5 = 13$ см и $b' = 12 + 3 = 15$ см.

Новая площадь: $S_2 = 13 \cdot 15 = 195$ см².

Уменьшение площади: $S_1 - S_2 = 216 - 195 = 21$ см². (Соответствует условию).

Ответ: стороны прямоугольника равны 18 см и 12 см.