Номер 509, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 509, страница 89.

Условие.

509. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения $(x + 3)(x^2 - 4x + 7) - (x^2 - 5)(x - 1)$ равно 16.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения $(x+3)(x^2-4x+7)-(x^2-5)(x-1)$ равно 16 при любом значении переменной, необходимо упростить это выражение.

1. Сначала раскроем скобки в первом произведении $(x+3)(x^2-4x+7)$, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(x+3)(x^2-4x+7) = x \cdot (x^2-4x+7) + 3 \cdot (x^2-4x+7) = x^3 - 4x^2 + 7x + 3x^2 - 12x + 21$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-4x^2 + 3x^2) + (7x - 12x) + 21 = x^3 - x^2 - 5x + 21$

2. Теперь раскроем скобки во втором произведении $(x^2-5)(x-1)$:
$(x^2-5)(x-1) = x^2 \cdot (x-1) - 5 \cdot (x-1) = (x^3 - x^2) - (5x - 5) = x^3 - x^2 - 5x + 5$

3. Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:
$(x^3 - x^2 - 5x + 21) - (x^3 - x^2 - 5x + 5)$
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех членов на противоположные:
$x^3 - x^2 - 5x + 21 - x^3 + x^2 + 5x - 5$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (-x^2 + x^2) + (-5x + 5x) + (21 - 5) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$

В результате упрощения все члены, содержащие переменную $x$, сократились, и мы получили число 16. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной и всегда равно 16.

Ответ: утверждение доказано, так как значение выражения тождественно равно 16.