Номер 507, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 507, страница 89.

Условие.

507. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(a + 1)(a - 2)(a - 3);$

2) $(3a - 2)(a + 3)(a - 7);$

3) $(a^2 - 2a + 1)(a^2 + 3a - 2);$

4) $(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы преобразовать выражение $(a+1)(a-2)(a-3)$ в многочлен, сначала перемножим первые две скобки:
$(a+1)(a-2) = a \cdot a + a \cdot (-2) + 1 \cdot a + 1 \cdot (-2) = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$.
Теперь умножим полученный многочлен на оставшуюся скобку $(a-3)$:
$(a^2 - a - 2)(a-3) = a^2(a-3) - a(a-3) - 2(a-3) = a^3 - 3a^2 - a^2 + 3a - 2a + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-3a^2 - a^2) + (3a - 2a) + 6 = a^3 - 4a^2 + a + 6$.
Ответ: $a^3 - 4a^2 + a + 6$.

2) Для преобразования выражения $(3a-2)(a+3)(a-7)$ в многочлен, начнем с умножения последних двух скобок:
$(a+3)(a-7) = a \cdot a + a \cdot (-7) + 3 \cdot a + 3 \cdot (-7) = a^2 - 7a + 3a - 21 = a^2 - 4a - 21$.
Далее, умножим результат на первую скобку $(3a-2)$:
$(3a-2)(a^2 - 4a - 21) = 3a(a^2 - 4a - 21) - 2(a^2 - 4a - 21) = 3a^3 - 12a^2 - 63a - 2a^2 + 8a + 42$.
Приведем подобные слагаемые:
$3a^3 + (-12a^2 - 2a^2) + (-63a + 8a) + 42 = 3a^3 - 14a^2 - 55a + 42$.
Ответ: $3a^3 - 14a^2 - 55a + 42$.

3) Чтобы преобразовать выражение $(a^2-2a+1)(a^2+3a-2)$, нужно перемножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:
$(a^2-2a+1)(a^2+3a-2) = a^2(a^2+3a-2) - 2a(a^2+3a-2) + 1(a^2+3a-2)$.
Раскроем скобки:
$(a^4 + 3a^3 - 2a^2) + (-2a^3 - 6a^2 + 4a) + (a^2 + 3a - 2)$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$a^4 + (3a^3 - 2a^3) + (-2a^2 - 6a^2 + a^2) + (4a + 3a) - 2 = a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2$.
Ответ: $a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2$.

4) В выражении $(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)$ можно заметить формулу суммы пятых степеней: $x^5+y^5 = (x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)$.
В данном случае $x=a$ и $y=1$, поэтому выражение сворачивается в:
$(a+1)(a^4-a^3 \cdot 1 + a^2 \cdot 1^2 - a \cdot 1^3 + 1^4) = a^5 + 1^5 = a^5 + 1$.
Для проверки можно выполнить умножение почленно:
$a(a^4-a^3+a^2-a+1) + 1(a^4-a^3+a^2-a+1) = (a^5 - a^4 + a^3 - a^2 + a) + (a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)$.
Приведем подобные члены:
$a^5 + (-a^4+a^4) + (a^3-a^3) + (-a^2+a^2) + (a-a) + 1 = a^5 + 1$.
Ответ: $a^5+1$.