Номер 508, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 508, страница 89.

Условие.

508. Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:

1) $(a+5)^2;$

2) $(4-3b)^2;$

3) $(a+b+c)^2;$

4) $(a-b)^3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Сначала заменим степень $(a+5)^2$ на произведение одинаковых множителей:
$(a+5)^2 = (a+5)(a+5)$

Затем преобразуем это произведение в многочлен, раскрыв скобки. Для этого каждый член первой скобки умножим на каждый член второй скобки:
$(a+5)(a+5) = a \cdot a + a \cdot 5 + 5 \cdot a + 5 \cdot 5 = a^2 + 5a + 5a + 25$

Приведем подобные слагаемые ($5a$ и $5a$):
$a^2 + (5a + 5a) + 25 = a^2 + 10a + 25$

Ответ: $a^2 + 10a + 25$

2)

Заменим степень $(4-3b)^2$ на произведение:
$(4-3b)^2 = (4-3b)(4-3b)$

Преобразуем произведение в многочлен, раскрыв скобки:
$(4-3b)(4-3b) = 4 \cdot 4 + 4 \cdot (-3b) - 3b \cdot 4 - 3b \cdot (-3b) = 16 - 12b - 12b + 9b^2$

Приведем подобные слагаемые ($-12b$ и $-12b$):
$16 - 24b + 9b^2$

Для стандартного вида запишем члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $b$:
$9b^2 - 24b + 16$

Ответ: $9b^2 - 24b + 16$

3)

Заменим степень $(a+b+c)^2$ на произведение:
$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Преобразуем произведение в многочлен. Умножим каждый член первого многочлена $(a+b+c)$ на каждый член второго:
$a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = (a^2 + ab + ac) + (ba + b^2 + bc) + (ca + cb + c^2)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые, помня, что $ab=ba$, $ac=ca$, $bc=cb$:
$a^2 + b^2 + c^2 + (ab+ba) + (ac+ca) + (bc+cb) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

4)

Заменим степень $(a-b)^3$ на произведение:
$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)$

Выполним умножение пошагово. Сначала перемножим первые два множителя:
$(a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Теперь умножим полученный результат на третий множитель $(a-b)$:
$(a^2 - 2ab + b^2)(a-b) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Ответ: $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$