Номер 521, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 521, страница 90.

Условие.

521. При всех ли натуральных значениях n значение выражения $ (n + 29) \times (n + 3) - (n + 7)(n + 1) $ кратно 8?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проверить его на делимость на 8.

Рассмотрим выражение: $(n + 29)(n + 3) - (n + 7)(n + 1)$.

1. Раскроем скобки в первом произведении, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(n + 29)(n + 3) = n \cdot n + n \cdot 3 + 29 \cdot n + 29 \cdot 3 = n^2 + 3n + 29n + 87 = n^2 + 32n + 87$

2. Раскроем скобки во втором произведении:

$(n + 7)(n + 1) = n \cdot n + n \cdot 1 + 7 \cdot n + 7 \cdot 1 = n^2 + n + 7n + 7 = n^2 + 8n + 7$

3. Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:

$(n^2 + 32n + 87) - (n^2 + 8n + 7)$

Раскрываем скобки, меняя знаки во втором многочлене на противоположные:

$n^2 + 32n + 87 - n^2 - 8n - 7$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (32n - 8n) + (87 - 7) = 0 + 24n + 80 = 24n + 80$

5. Теперь нам нужно определить, кратно ли выражение $24n + 80$ числу 8. Для этого вынесем общий множитель 8 за скобки:

$24n + 80 = 8 \cdot 3n + 8 \cdot 10 = 8(3n + 10)$

По условию, $n$ — натуральное число. Это значит, что $n$ может быть любым целым положительным числом ($1, 2, 3, \ldots$).

Если $n$ — натуральное число, то $3n$ также будет натуральным числом. Сумма натурального числа $3n$ и целого числа 10, то есть $3n + 10$, всегда будет целым числом. Поскольку полученное выражение имеет вид $8 \cdot k$, где $k = 3n + 10$ и $k$ является целым числом, то все значение выражения делится на 8 без остатка при любом натуральном $n$.

Ответ: Да, при всех натуральных значениях $n$ значение данного выражения кратно 8.