Номер 518, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Умножение многочлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 518, страница 90.

Условие.

518. Докажите тождество:

1) $x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7);$

2) $y^2(y - 7)(y + 2) = y^4 - 5y^3 - 14y^2;$

3) $a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4);$

4) $(a^4 - a^2 + 1)(a^4 + a^2 + 1) = a^8 + a^4 + 1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x-1)(x-7) = x \cdot x + x \cdot (-7) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-7) = x^2 - 7x - x + 7$

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$x^2 - (7x + x) + 7 = x^2 - 8x + 7$

Мы получили выражение, которое в точности совпадает с левой частью исходного равенства: $x^2 - 8x + 7 = x^2 - 8x + 7$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Для этого сначала перемножим выражения в скобках:

$(y-7)(y+2) = y \cdot y + y \cdot 2 - 7 \cdot y - 7 \cdot 2 = y^2 + 2y - 7y - 14 = y^2 - 5y - 14$

Теперь умножим полученный многочлен на $y^2$:

$y^2(y^2 - 5y - 14) = y^2 \cdot y^2 + y^2 \cdot (-5y) + y^2 \cdot (-14) = y^4 - 5y^3 - 14y^2$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью: $y^4 - 5y^3 - 14y^2 = y^4 - 5y^3 - 14y^2$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Данное тождество является примером формулы сокращенного умножения "разность кубов": $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В левой части равенства стоит выражение $a^3 - 8$, которое можно записать как $a^3 - 2^3$. Здесь $a$ соответствует $a$, а $b$ соответствует $2$.

Применим формулу к левой части:

$a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Также можно доказать тождество, раскрыв скобки в правой части:

$(a-2)(a^2 + 2a + 4) = a \cdot (a^2 + 2a + 4) - 2 \cdot (a^2 + 2a + 4) = a^3 + 2a^2 + 4a - 2a^2 - 4a - 8$

После приведения подобных слагаемых ($2a^2$ и $-2a^2$, $4a$ и $-4a$) получаем:

$a^3 - 8$

Правая часть равна левой.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства этого тождества преобразуем левую часть. Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$.

Представим левую часть в виде: $((a^4 + 1) - a^2)((a^4 + 1) + a^2)$.

В данном случае $A = a^4 + 1$ и $B = a^2$. Применяем формулу:

$((a^4 + 1) - a^2)((a^4 + 1) + a^2) = (a^4 + 1)^2 - (a^2)^2$

Теперь раскроем скобки. Для $(a^4 + 1)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$(a^4 + 1)^2 = (a^4)^2 + 2 \cdot a^4 \cdot 1 + 1^2 = a^8 + 2a^4 + 1$

Второе слагаемое $(a^2)^2 = a^4$.

Подставим полученные выражения обратно и упростим:

$(a^8 + 2a^4 + 1) - a^4 = a^8 + (2a^4 - a^4) + 1 = a^8 + a^4 + 1$

Преобразованная левая часть равна правой части.

Ответ: Тождество доказано.