Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

547. Вычислите значение выражения, предварительно разложив его на множители:

1) $6,32x - x^2$, если $x = 4,32$;

2) $a^3 + a^2b$, если $a = 1,5$, $b = -2,5$;

3) $m^3p - m^2n^2$, если $m = 3$, $p = \frac{1}{3}$, $n = -3$.

1) Для выражения $6,32x - x^2$ при $x = 4,32$.
Сначала разложим выражение на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $6,32x - x^2 = x(6,32 - x)$.
Теперь подставим значение $x = 4,32$ в полученное выражение и вычислим: $4,32 \cdot (6,32 - 4,32) = 4,32 \cdot 2 = 8,64$.
Ответ: 8,64.

2) Для выражения $a^3 + a^2b$ при $a = 1,5$ и $b = -2,5$.
Разложим выражение на множители, вынеся общий множитель $a^2$ за скобки: $a^3 + a^2b = a^2(a + b)$.
Подставим значения $a = 1,5$ и $b = -2,5$ в выражение и вычислим: $(1,5)^2 \cdot (1,5 + (-2,5)) = 2,25 \cdot (1,5 - 2,5) = 2,25 \cdot (-1) = -2,25$.
Ответ: -2,25.

3) Для выражения $m^3p - m^2n^2$ при $m = 3$, $p = \frac{1}{3}$ и $n = -3$.
Разложим выражение на множители, вынеся общий множитель $m^2$ за скобки: $m^3p - m^2n^2 = m^2(mp - n^2)$.
Подставим заданные значения переменных и вычислим: $3^2 \cdot (3 \cdot \frac{1}{3} - (-3)^2) = 9 \cdot (1 - 9) = 9 \cdot (-8) = -72$.
Ответ: -72.

548. Найдите значение выражения:

1) $0.74x^2 + 26x$, если $x = 100$;

2) $x^2y^3 - x^3y^2$, если $x = 4, y = 5$.

1) Для нахождения значения выражения $0.74x^2 + 26x$ при $x = 100$ можно сначала упростить выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки. Это упростит вычисления.

$0.74x^2 + 26x = x(0.74x + 26)$

Теперь подставим значение $x = 100$ в это выражение:

$100 \cdot (0.74 \cdot 100 + 26)$

Сначала выполним действия в скобках:

$0.74 \cdot 100 = 74$

$74 + 26 = 100$

Теперь выполним оставшееся умножение:

$100 \cdot 100 = 10000$

Ответ: $10000$

2) Чтобы найти значение выражения $x^2y^3 - x^3y^2$ при $x = 4$ и $y = 5$, для удобства вычислений сначала вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для обоих членов является $x^2y^2$.

$x^2y^3 - x^3y^2 = x^2y^2(y - x)$

Теперь подставим заданные значения $x = 4$ и $y = 5$ в упрощенное выражение:

$4^2 \cdot 5^2 \cdot (5 - 4)$

Выполним вычисления по порядку:

1. Возведение в степень: $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$.

2. Вычитание в скобках: $5 - 4 = 1$.

3. Перемножим полученные результаты: $16 \cdot 25 \cdot 1 = 400$.

Ответ: $400$

549. Решите уравнение:

1) $y^2 - 6y = 0;$

2) $x^2 + x = 0;$

3) $4m^2 - 20m = 0;$

4) $13x^2 + x = 0;$

5) $9x^2 - 6x = 0;$

6) $12x - 0,3x^2 = 0.$

1) Решим уравнение $y^2 - 6y = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки, получим $y(y - 6) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $y_1 = 0$ или $y - 6 = 0$, откуда $y_2 = 6$.
Ответ: $0; 6$.

2) Решим уравнение $x^2 + x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 1) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем два корня: $x_1 = 0$ или $x + 1 = 0$, откуда $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 0$.

3) Решим уравнение $4m^2 - 20m = 0$. Вынесем общий множитель $4m$ за скобки: $4m(m - 5) = 0$. Отсюда следует, что либо $4m = 0$, либо $m - 5 = 0$. Из первого уравнения находим $m_1 = 0$, из второго $m_2 = 5$.
Ответ: $0; 5$.

4) Решим уравнение $13x^2 + x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(13x + 1) = 0$. Уравнение имеет два корня, которые находятся из условий $x = 0$ и $13x + 1 = 0$. Из второго условия получаем $13x = -1$, то есть $x = -\frac{1}{13}$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{13}$.
Ответ: $-\frac{1}{13}; 0$.

5) Решим уравнение $9x^2 - 6x = 0$. Общий множитель для обоих членов - $3x$. Вынесем его за скобки: $3x(3x - 2) = 0$. Приравнивая множители к нулю, получаем: $3x = 0$ или $3x - 2 = 0$. Из первого уравнения $x_1 = 0$. Из второго уравнения $3x = 2$, откуда $x_2 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $0; \frac{2}{3}$.

6) Решим уравнение $12x - 0,3x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(12 - 0,3x) = 0$. Это уравнение распадается на два: $x = 0$ и $12 - 0,3x = 0$. Первый корень $x_1 = 0$. Решим второе уравнение: $0,3x = 12$. Разделим обе части на $0,3$: $x = \frac{12}{0,3} = \frac{120}{3} = 40$. Второй корень $x_2 = 40$.
Ответ: $0; 40$.

550. Решите уравнение:

1) $x^2 - x = 0;$

2) $p^2 + 15p = 0;$

3) $5x^2 - 30x = 0;$

4) $14x^2 + 18x = 0.$

1) $x^2 - x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы получаем два случая:

$x = 0$

или

$x - 1 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 1$.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: 0; 1.

2) $p^2 + 15p = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$p(p + 15) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$p = 0$

или

$p + 15 = 0$

Из второго уравнения находим $p = -15$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; -15.

3) $5x^2 - 30x = 0$

Вынесем общий множитель $5x$ за скобки, так как 5 является общим делителем для коэффициентов 5 и 30, а $x$ является общей переменной:

$5x(x - 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$5x = 0$

или

$x - 6 = 0$

Из первого уравнения получаем $x = 0$. Из второго уравнения получаем $x = 6$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 6.

4) $14x^2 + 18x = 0$

Вынесем общий множитель за скобки. Общий делитель для коэффициентов 14 и 18 равен 2. Общая переменная - $x$. Таким образом, выносим $2x$:

$2x(7x + 9) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$2x = 0$

или

$7x + 9 = 0$

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Решим второе уравнение:

$7x = -9$

$x = -\frac{9}{7}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; $-\frac{9}{7}$.

551. Разложите на множители:

1) $2x(a + b) + y(a + b);$

2) $(a - 4) - b(a - 4);$

3) $5a(m - n) + 7b(m - n);$

4) $6x(4x + 1) - 11(4x + 1);$

5) $a(c - d) + b(d - c);$

6) $x(x - 6) - 10(6 - x);$

7) $b(b - 20) + (20 - b);$

8) $6a(a - 3b) - 13b(3b - a).$

1) В выражении $2x(a + b) + y(a + b)$ мы видим два слагаемых: $2x(a + b)$ и $y(a + b)$. Оба слагаемых содержат общий множитель $(a + b)$. Мы можем вынести этот общий множитель за скобки, используя распределительный закон. После вынесения $(a + b)$ от первого слагаемого остается $2x$, а от второго — $y$. Таким образом, выражение преобразуется в произведение двух множителей.
$2x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(2x + y)$.
Ответ: $(a + b)(2x + y)$.

2) В выражении $(a - 4) - b(a - 4)$ первое слагаемое $(a - 4)$ можно представить как $1 \cdot (a - 4)$. Тогда выражение примет вид $1 \cdot (a - 4) - b(a - 4)$. Общим множителем для обоих слагаемых является $(a - 4)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $1$, а от второго — $-b$.
$(a - 4) - b(a - 4) = 1 \cdot (a - 4) - b(a - 4) = (a - 4)(1 - b)$.
Ответ: $(a - 4)(1 - b)$.

3) В выражении $5a(m - n) + 7b(m - n)$ оба слагаемых имеют общий множитель $(m - n)$. Вынося этот множитель за скобки, мы получаем в скобках сумму того, что осталось от каждого слагаемого, то есть $5a + 7b$.
$5a(m - n) + 7b(m - n) = (m - n)(5a + 7b)$.
Ответ: $(m - n)(5a + 7b)$.

4) В выражении $6x(4x + 1) - 11(4x + 1)$ общим множителем является двучлен $(4x + 1)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $6x$, а от второго — $-11$.
$6x(4x + 1) - 11(4x + 1) = (4x + 1)(6x - 11)$.
Ответ: $(4x + 1)(6x - 11)$.

5) В выражении $a(c - d) + b(d - c)$ множители в скобках $(c - d)$ и $(d - c)$ являются противоположными, так как $d - c = -(c - d)$. Мы можем заменить $(d - c)$ на $-(c - d)$, чтобы получить общий множитель.
$a(c - d) + b(d - c) = a(c - d) + b(-(c - d)) = a(c - d) - b(c - d)$.
Теперь мы можем вынести общий множитель $(c - d)$ за скобки.
$(c - d)(a - b)$.
Ответ: $(c - d)(a - b)$.

6) В выражении $x(x - 6) - 10(6 - x)$ множители в скобках $(x - 6)$ и $(6 - x)$ также являются противоположными, так как $6 - x = -(x - 6)$. Выполним замену во втором слагаемом.
$x(x - 6) - 10(6 - x) = x(x - 6) - 10(-(x - 6)) = x(x - 6) + 10(x - 6)$.
Теперь у нас есть общий множитель $(x - 6)$, который мы выносим за скобки.
$(x - 6)(x + 10)$.
Ответ: $(x - 6)(x + 10)$.

7) В выражении $b(b - 20) + (20 - b)$ множитель $(20 - b)$ является противоположным множителю $(b - 20)$, то есть $20 - b = -(b - 20)$.
$b(b - 20) + (20 - b) = b(b - 20) - (b - 20)$.
Представим второе слагаемое как $1 \cdot (b - 20)$, чтобы было понятнее, что остается после вынесения.
$b(b - 20) - 1 \cdot (b - 20) = (b - 20)(b - 1)$.
Ответ: $(b - 20)(b - 1)$.

8) В выражении $6a(a - 3b) - 13b(3b - a)$ множители $(a - 3b)$ и $(3b - a)$ являются противоположными, так как $3b - a = -(a - 3b)$. Заменим $(3b - a)$ во втором слагаемом.
$6a(a - 3b) - 13b(3b - a) = 6a(a - 3b) - 13b(-(a - 3b)) = 6a(a - 3b) + 13b(a - 3b)$.
Вынесем общий множитель $(a - 3b)$ за скобки.
$(a - 3b)(6a + 13b)$.
Ответ: $(a - 3b)(6a + 13b)$.

552. Представьте выражение в виде произведения многочленов:

1) $c(x-3)-d(x-3);$

2) $m(p-k)-(p-k);$

3) $m(x-y)-n(y-x);$

4) $x(2-x)+4(x-2);$

5) $4x(2x-y)-5y(y-2x).$

1) В данном выражении $c(x - 3) - d(x - 3)$ общим множителем является многочлен $(x - 3)$. Вынесем этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого $c(x - 3)$ останется множитель $c$, а от второго слагаемого $-d(x - 3)$ останется множитель $-d$. В результате получаем произведение двух многочленов.
$c(x - 3) - d(x - 3) = (c - d)(x - 3)$.
Ответ: $(c - d)(x - 3)$.

2) В выражении $m(p - k) - (p - k)$ общим множителем является $(p - k)$. Второе слагаемое $-(p - k)$ можно представить как $-1 \cdot (p - k)$. Теперь вынесем общий множитель $(p - k)$ за скобки. От первого слагаемого $m(p - k)$ останется $m$, а от второго $-1 \cdot (p - k)$ останется $-1$.
$m(p - k) - (p - k) = m(p - k) - 1 \cdot (p - k) = (m - 1)(p - k)$.
Ответ: $(m - 1)(p - k)$.

3) В выражении $m(x - y) - n(y - x)$ многочлены в скобках $(x - y)$ и $(y - x)$ являются противоположными. Это означает, что $y - x = -(x - y)$. Используем это свойство, чтобы преобразовать второе слагаемое: вынесем $-1$ за скобки в выражении $(y - x)$.
$m(x - y) - n(y - x) = m(x - y) - n(-(x - y))$.
Знак минус перед $n$ и знак минус перед скобкой дают в итоге плюс:
$m(x - y) + n(x - y)$.
Теперь общим множителем является $(x - y)$. Выносим его за скобки:
$(m + n)(x - y)$.
Ответ: $(m + n)(x - y)$.

4) В выражении $x(2 - x) + 4(x - 2)$ многочлены в скобках $(2 - x)$ и $(x - 2)$ являются противоположными: $x - 2 = -(2 - x)$. Заменим $(x - 2)$ во втором слагаемом на $-(2 - x)$.
$x(2 - x) + 4(x - 2) = x(2 - x) + 4(-(2 - x)) = x(2 - x) - 4(2 - x)$.
Теперь общим множителем является $(2 - x)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $x$, а от второго $-4$.
$(x - 4)(2 - x)$.
Ответ: $(x - 4)(2 - x)$.

5) В выражении $4x(2x - y) - 5y(y - 2x)$ многочлены в скобках $(2x - y)$ и $(y - 2x)$ являются противоположными: $y - 2x = -(2x - y)$. Преобразуем второе слагаемое, используя это свойство.
$4x(2x - y) - 5y(y - 2x) = 4x(2x - y) - 5y(-(2x - y))$.
Раскрывая скобки, получаем:
$4x(2x - y) + 5y(2x - y)$.
Теперь общим множителем является $(2x - y)$. Вынесем его за скобки.
$(4x + 5y)(2x - y)$.
Ответ: $(4x + 5y)(2x - y)$.

553. Разложите на множители:

1) $2a^5b^2 - 4a^3b + 6a^2b^3;$

2) $mn^3 + 5m^2n^2 - 7m^2n;$

3) $xy^2 + x^2y - xy;$

4) $9x^3 + 4x^2 - x;$

5) $-6m^4 - 8m^5 - 2m^6;$

6) $42a^4b - 28a^3b^2 - 70a^5b^3.$

1) Разложим на множители выражение $2a^5b^2 - 4a^3b + 6a^2b^3$. Для этого найдем общий множитель для всех членов многочлена, вынеся его за скобки.
Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 2, -4, 6. НОД для чисел 2, 4 и 6 равен 2.
Затем найдем общие переменные в наименьшей степени. Переменная $a$ присутствует во всех членах со степенями 5, 3 и 2. Наименьшая степень - 2, значит, общий множитель содержит $a^2$.
Переменная $b$ присутствует во всех членах со степенями 2, 1 и 3. Наименьшая степень - 1, значит, общий множитель содержит $b$.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $2a^2b$.
Разделим каждый член исходного многочлена на $2a^2b$:
$2a^5b^2 - 4a^3b + 6a^2b^3 = 2a^2b \cdot (\frac{2a^5b^2}{2a^2b} - \frac{4a^3b}{2a^2b} + \frac{6a^2b^3}{2a^2b}) = 2a^2b(a^3b - 2a + 3b^2)$.
Ответ: $2a^2b(a^3b - 2a + 3b^2)$.

2) Разложим на множители выражение $mn^3 + 5m^2n^2 - 7m^2n$.
НОД для коэффициентов 1, 5, -7 равен 1.
Переменная $m$ входит в члены со степенями 1, 2, 2. Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель — $m$.
Переменная $n$ входит в члены со степенями 3, 2, 1. Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель — $n$.
Общий множитель для вынесения за скобки — $mn$.
Выполним деление каждого члена на $mn$:
$mn^3 + 5m^2n^2 - 7m^2n = mn \cdot (\frac{mn^3}{mn} + \frac{5m^2n^2}{mn} - \frac{7m^2n}{mn}) = mn(n^2 + 5mn - 7m)$.
Ответ: $mn(n^2 + 5mn - 7m)$.

3) Разложим на множители выражение $xy^2 + x^2y - xy$.
Общий множитель для переменных $x$ и $y$ находится по наименьшей степени их вхождения. Для $x$ это $x^1=x$, для $y$ это $y^1=y$.
Общий множитель — $xy$.
Вынесем $xy$ за скобки:
$xy^2 + x^2y - xy = xy \cdot (\frac{xy^2}{xy} + \frac{x^2y}{xy} - \frac{xy}{xy}) = xy(y + x - 1)$.
Ответ: $xy(x + y - 1)$.

4) Разложим на множители выражение $9x^3 + 4x^2 - x$.
НОД для коэффициентов 9, 4, -1 равен 1.
Переменная $x$ входит в члены со степенями 3, 2, 1. Наименьшая степень равна 1, поэтому общий множитель — $x$.
Вынесем $x$ за скобки:
$9x^3 + 4x^2 - x = x \cdot (\frac{9x^3}{x} + \frac{4x^2}{x} - \frac{x}{x}) = x(9x^2 + 4x - 1)$.
Ответ: $x(9x^2 + 4x - 1)$.

5) Разложим на множители выражение $-6m^4 - 8m^5 - 2m^6$.
НОД для коэффициентов -6, -8, -2 равен -2 (удобно выносить знак минус, если все члены отрицательны).
Переменная $m$ входит в члены со степенями 4, 5, 6. Наименьшая степень равна 4, поэтому общий множитель — $m^4$.
Общий множитель для вынесения за скобки — $-2m^4$.
Вынесем его за скобки: $-6m^4 - 8m^5 - 2m^6 = -2m^4(\frac{-6m^4}{-2m^4} + \frac{-8m^5}{-2m^4} + \frac{-2m^6}{-2m^4}) = -2m^4(3 + 4m + m^2)$.
Выражение в скобках $m^2 + 4m + 3$ является квадратным трехчленом. Его можно разложить на множители, найдя корни уравнения $m^2 + 4m + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение 3. Корни равны -1 и -3. Тогда $m^2 + 4m + 3 = (m - (-1))(m - (-3)) = (m+1)(m+3)$.
Окончательный результат:
$-2m^4(m+1)(m+3)$.
Ответ: $-2m^4(m+1)(m+3)$.

6) Разложим на множители выражение $42a^4b - 28a^3b^2 - 70a^5b^3$.
Найдем НОД для коэффициентов 42, -28, -70. НОД(42, 28, 70) = 14.
Переменная $a$ входит в члены со степенями 4, 3, 5. Наименьшая степень равна 3, общий множитель — $a^3$.
Переменная $b$ входит в члены со степенями 1, 2, 3. Наименьшая степень равна 1, общий множитель — $b$.
Общий множитель для вынесения за скобки — $14a^3b$.
Вынесем его за скобки:
$42a^4b - 28a^3b^2 - 70a^5b^3 = 14a^3b(\frac{42a^4b}{14a^3b} - \frac{28a^3b^2}{14a^3b} - \frac{70a^5b^3}{14a^3b}) = 14a^3b(3a - 2b - 5a^2b^2)$.
Ответ: $14a^3b(3a - 2b - 5a^2b^2)$.

554. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $m^2n + mn + n;$

2) $3x^6 + 6x^5 - 15x^4;$

3) $7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5;$

4) $20b^6c^5 - 45b^5c^6 - 30b^5c^5.$

1) $m^2n + mn + n$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти переменные и коэффициенты, которые являются общими для всех членов выражения.
Данное выражение состоит из трех членов: $m^2n$, $mn$ и $n$.
1. Числовые коэффициенты: Все коэффициенты равны 1, так что общий числовой множитель равен 1.
2. Переменные множители:
- Переменная $m$ присутствует в первом члене ($m^2$) и во втором ($m$), но отсутствует в третьем. Следовательно, $m$ не является общим множителем для всего выражения.
- Переменная $n$ присутствует во всех трех членах. Наименьшая степень переменной $n$ в выражении — это $n^1$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $n$.
Теперь разделим каждый член исходного выражения на общий множитель $n$:
- $\frac{m^2n}{n} = m^2$
- $\frac{mn}{n} = m$
- $\frac{n}{n} = 1$
Запишем результат, вынеся общий множитель $n$ за скобки и поместив в скобки результаты деления:
$n(m^2 + m + 1)$
Ответ: $n(m^2 + m + 1)$

2) $3x^6 + 6x^5 - 15x^4$

Найдем общий множитель для членов $3x^6$, $6x^5$ и $-15x^4$.
1. Числовые коэффициенты: Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 3, 6 и 15.
НОД(3, 6, 15) = 3.
2. Переменные множители:
- Переменная $x$ присутствует во всех членах. Наименьшая степень переменной $x$ в выражении — это $x^4$.
Следовательно, общий множитель для переменных — это $x^4$.
Объединив числовой и переменный множители, получаем общий множитель $3x^4$.
Вынесем $3x^4$ за скобки, разделив каждый член на $3x^4$:
$3x^4(\frac{3x^6}{3x^4} + \frac{6x^5}{3x^4} - \frac{15x^4}{3x^4}) = 3x^4(x^{6-4} + 2x^{5-4} - 5x^{4-4}) = 3x^4(x^2 + 2x - 5)$
Ответ: $3x^4(x^2 + 2x - 5)$

3) $7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5$

Найдем общий множитель для членов $7a^4b^3$, $-14a^3b^4$ и $21a^2b^5$.
1. Числовые коэффициенты: Найдем НОД для чисел 7, 14 и 21.
НОД(7, 14, 21) = 7.
2. Переменные множители:
- Переменная $a$ присутствует во всех членах в степенях $a^4$, $a^3$, $a^2$. Наименьшая степень — $a^2$.
- Переменная $b$ присутствует во всех членах в степенях $b^3$, $b^4$, $b^5$. Наименьшая степень — $b^3$.
Общий множитель для переменных — $a^2b^3$.
Итоговый общий множитель — $7a^2b^3$.
Вынесем $7a^2b^3$ за скобки:
$7a^2b^3(\frac{7a^4b^3}{7a^2b^3} - \frac{14a^3b^4}{7a^2b^3} + \frac{21a^2b^5}{7a^2b^3}) = 7a^2b^3(a^{4-2}b^{3-3} - 2a^{3-2}b^{4-3} + 3a^{2-2}b^{5-3})$
$7a^2b^3(a^2b^0 - 2a^1b^1 + 3a^0b^2) = 7a^2b^3(a^2 - 2ab + 3b^2)$
Ответ: $7a^2b^3(a^2 - 2ab + 3b^2)$

4) $20b^6c^5 - 45b^5c^6 - 30b^5c^5$

Найдем общий множитель для членов $20b^6c^5$, $-45b^5c^6$ и $-30b^5c^5$.
1. Числовые коэффициенты: Найдем НОД для чисел 20, 45 и 30.
- Разложим на простые множители: $20 = 2^2 \cdot 5$, $45 = 3^2 \cdot 5$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
- Общий множитель — 5. НОД(20, 45, 30) = 5.
2. Переменные множители:
- Переменная $b$ присутствует во всех членах в степенях $b^6$, $b^5$, $b^5$. Наименьшая степень — $b^5$.
- Переменная $c$ присутствует во всех членах в степенях $c^5$, $c^6$, $c^5$. Наименьшая степень — $c^5$.
Общий множитель для переменных — $b^5c^5$.
Итоговый общий множитель — $5b^5c^5$.
Вынесем $5b^5c^5$ за скобки:
$5b^5c^5(\frac{20b^6c^5}{5b^5c^5} - \frac{45b^5c^6}{5b^5c^5} - \frac{30b^5c^5}{5b^5c^5}) = 5b^5c^5(4b^{6-5}c^{5-5} - 9b^{5-5}c^{6-5} - 6b^{5-5}c^{5-5})$
$5b^5c^5(4b^1c^0 - 9b^0c^1 - 6b^0c^0) = 5b^5c^5(4b - 9c - 6)$
Ответ: $5b^5c^5(4b - 9c - 6)$

555. Найти и исправить ошибки в равенствах:

1) $4a+4=4(a+4);$

2) $6ab-3b=b(6a-2b);$

3) $-5x-10y=-5(x-2y);$

4) $x^6-x^4+x^2=x^2(x^3-x^2+x).$

1) Равенство $4a + 4 = 4(a + 4)$ неверно.
Для проверки раскроем скобки в правой части равенства: $4(a + 4) = 4 \cdot a + 4 \cdot 4 = 4a + 16$.
Поскольку $4a + 4 \neq 4a + 16$, исходное равенство ошибочно.
Чтобы исправить ошибку, необходимо правильно вынести общий множитель $4$ за скобки в левой части: $4a + 4 = 4(a + 1)$.
Ответ: $4a + 4 = 4(a + 1)$.

2) Равенство $6ab - 3b = b(6a - 2b)$ неверно.
Раскроем скобки в правой части: $b(6a - 2b) = b \cdot 6a - b \cdot 2b = 6ab - 2b^2$.
Поскольку $6ab - 3b \neq 6ab - 2b^2$, исходное равенство ошибочно.
Для исправления ошибки вынесем за скобки общий множитель $3b$ в левой части: $6ab - 3b = 3b(2a - 1)$.
Ответ: $6ab - 3b = 3b(2a - 1)$.

3) Равенство $-5x - 10y = -5(x - 2y)$ неверно.
Раскроем скобки в правой части: $-5(x - 2y) = -5 \cdot x - 5 \cdot (-2y) = -5x + 10y$.
Поскольку $-5x - 10y \neq -5x + 10y$, исходное равенство ошибочно.
Для исправления ошибки вынесем общий множитель $-5$ за скобки в левой части: $-5x - 10y = -5(x + 2y)$.
Ответ: $-5x - 10y = -5(x + 2y)$.

4) Равенство $x^6 - x^4 + x^2 = x^2(x^3 - x^2 + x)$ неверно.
Раскроем скобки в правой части: $x^2(x^3 - x^2 + x) = x^2 \cdot x^3 - x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot x = x^5 - x^4 + x^3$.
Поскольку $x^6 - x^4 + x^2 \neq x^5 - x^4 + x^3$, исходное равенство ошибочно.
Для исправления ошибки вынесем за скобки общий множитель $x^2$ в левой части: $x^6 - x^4 + x^2 = x^2(x^4 - x^2 + 1)$.
Ответ: $x^6 - x^4 + x^2 = x^2(x^4 - x^2 + 1)$.

556. Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом.

Пусть $n$ — любое натуральное число. Требуется доказать, что сумма этого числа и его квадрата, то есть выражение $n + n^2$, является чётным числом.

Для доказательства преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки:
$n + n^2 = n(n+1)$

Полученное выражение $n(n+1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел. Любое натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $n$ — чётное число.
Если число $n$ является чётным, то оно делится на 2. Произведение чётного числа на любое другое натуральное число ($n+1$) всегда является чётным. Например, если $n=2k$, то $n(n+1) = 2k(2k+1)$, что очевидно делится на 2.

Случай 2: $n$ — нечётное число.
Если число $n$ является нечётным, то следующее за ним число $n+1$ будет чётным. Произведение нечётного числа ($n$) на чётное ($n+1$) всегда является чётным. Например, если $n=2k-1$, то $n+1 = (2k-1)+1 = 2k$. Тогда их произведение $n(n+1) = (2k-1)(2k)$, что очевидно делится на 2.

Таким образом, в любом случае один из множителей ($n$ или $n+1$) является чётным числом. Произведение, в котором хотя бы один из множителей является чётным, всегда будет чётным числом. Следовательно, сумма любого натурального числа и его квадрата всегда является чётным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как сумма натурального числа $n$ и его квадрата $n^2$ равна $n(n+1)$, то есть произведению двух последовательных натуральных чисел, одно из которых всегда чётное, а значит, и всё произведение является чётным.

557. Разложите на множители:

1) $(m - 9)^2 - 3(m - 9);$

2) $a(a + 5)^2 + (a + 5);$

3) $(m^2 - 3) - n(m^2 - 3)^2;$

4) $8c(p - 12) + 7d(p - 12)^2;$

5) $a(2a + b)(a + b) - 4a(a + b)^2;$

6) $3m^2(m - 8) + 6m(m - 8)^2;$

7) $(2a + 3)(a + 5) + (a - 1)(a + 5);$

8) $(3x + 7)(4y - 1) - (4y - 1)(2x + 10).$

1) В данном выражении $(m - 9)^2 - 3(m - 9)$ мы видим общий множитель $(m - 9)$. Вынесем его за скобки:
$(m - 9)^2 - 3(m - 9) = (m - 9) \cdot (m - 9) - 3 \cdot (m - 9) = (m - 9) ((m - 9) - 3)$
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$(m - 9) - 3 = m - 9 - 3 = m - 12$
В итоге получаем произведение двух множителей.
Ответ: $(m - 9)(m - 12)$

2) В выражении $a(a + 5)^2 + (a + 5)$ общим множителем является $(a + 5)$. Вынесем его за скобки, помня, что второе слагаемое равно $1 \cdot (a + 5)$:
$a(a + 5)^2 + (a + 5) = (a + 5) (a(a + 5) + 1)$
Раскроем скобки внутри второго множителя и приведем подобные слагаемые:
$a(a + 5) + 1 = a^2 + 5a + 1$
Квадратный трехчлен $a^2 + 5a + 1$ не раскладывается на линейные множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21$ не является полным квадратом.
Ответ: $(a + 5)(a^2 + 5a + 1)$

3) В выражении $(m^2 - 3) - n(m^2 - 3)^2$ общим множителем является $(m^2 - 3)$. Вынесем его за скобки:
$(m^2 - 3) - n(m^2 - 3)^2 = (m^2 - 3) (1 - n(m^2 - 3))$
Упростим выражение во второй скобке:
$1 - n(m^2 - 3) = 1 - nm^2 + 3n$
Ответ: $(m^2 - 3)(1 - nm^2 + 3n)$

4) В выражении $8c(p - 12) + 7d(p - 12)^2$ общим множителем является $(p - 12)$. Вынесем его за скобки:
$8c(p - 12) + 7d(p - 12)^2 = (p - 12) (8c + 7d(p - 12))$
Раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$8c + 7d(p - 12) = 8c + 7dp - 84d$
Ответ: $(p - 12)(8c + 7dp - 84d)$

5) В выражении $a(2a + b)(a + b) - 4a(a + b)^2$ есть два общих множителя: $a$ и $(a + b)$. Вынесем $a(a+b)$ за скобки:
$a(a + b) ((2a + b) - 4(a + b))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(2a + b) - 4(a + b) = 2a + b - 4a - 4b = -2a - 3b = -(2a + 3b)$
Подставим упрощенное выражение обратно:
$a(a + b) (-(2a + 3b))$
Ответ: $-a(a + b)(2a + 3b)$

6) В выражении $3m^2(m - 8) + 6m(m - 8)^2$ общими множителями являются $3, m$ и $(m - 8)$. Наибольший общий множитель - это $3m(m - 8)$. Вынесем его за скобки:
$3m(m - 8) (m + 2(m - 8))$
Упростим выражение во второй скобке:
$m + 2(m - 8) = m + 2m - 16 = 3m - 16$
Ответ: $3m(m - 8)(3m - 16)$

7) В выражении $(2a + 3)(a + 5) + (a - 1)(a + 5)$ общим множителем является $(a + 5)$. Вынесем его за скобки:
$(a + 5) ((2a + 3) + (a - 1))$
Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:
$(2a + 3) + (a - 1) = 2a + 3 + a - 1 = 3a + 2$
Ответ: $(a + 5)(3a + 2)$

8) В выражении $(3x + 7)(4y - 1) - (4y - 1)(2x + 10)$ общим множителем является $(4y - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(4y - 1) ((3x + 7) - (2x + 10))$
Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:
$(3x + 7) - (2x + 10) = 3x + 7 - 2x - 10 = x - 3$
Ответ: $(4y - 1)(x - 3)$