Номер 554, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 554, страница 96.

Условие.

554. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $m^2n + mn + n;$

2) $3x^6 + 6x^5 - 15x^4;$

3) $7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5;$

4) $20b^6c^5 - 45b^5c^6 - 30b^5c^5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $m^2n + mn + n$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти переменные и коэффициенты, которые являются общими для всех членов выражения.
Данное выражение состоит из трех членов: $m^2n$, $mn$ и $n$.
1. Числовые коэффициенты: Все коэффициенты равны 1, так что общий числовой множитель равен 1.
2. Переменные множители:
- Переменная $m$ присутствует в первом члене ($m^2$) и во втором ($m$), но отсутствует в третьем. Следовательно, $m$ не является общим множителем для всего выражения.
- Переменная $n$ присутствует во всех трех членах. Наименьшая степень переменной $n$ в выражении — это $n^1$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $n$.
Теперь разделим каждый член исходного выражения на общий множитель $n$:
- $\frac{m^2n}{n} = m^2$
- $\frac{mn}{n} = m$
- $\frac{n}{n} = 1$
Запишем результат, вынеся общий множитель $n$ за скобки и поместив в скобки результаты деления:
$n(m^2 + m + 1)$
Ответ: $n(m^2 + m + 1)$

2) $3x^6 + 6x^5 - 15x^4$

Найдем общий множитель для членов $3x^6$, $6x^5$ и $-15x^4$.
1. Числовые коэффициенты: Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 3, 6 и 15.
НОД(3, 6, 15) = 3.
2. Переменные множители:
- Переменная $x$ присутствует во всех членах. Наименьшая степень переменной $x$ в выражении — это $x^4$.
Следовательно, общий множитель для переменных — это $x^4$.
Объединив числовой и переменный множители, получаем общий множитель $3x^4$.
Вынесем $3x^4$ за скобки, разделив каждый член на $3x^4$:
$3x^4(\frac{3x^6}{3x^4} + \frac{6x^5}{3x^4} - \frac{15x^4}{3x^4}) = 3x^4(x^{6-4} + 2x^{5-4} - 5x^{4-4}) = 3x^4(x^2 + 2x - 5)$
Ответ: $3x^4(x^2 + 2x - 5)$

3) $7a^4b^3 - 14a^3b^4 + 21a^2b^5$

Найдем общий множитель для членов $7a^4b^3$, $-14a^3b^4$ и $21a^2b^5$.
1. Числовые коэффициенты: Найдем НОД для чисел 7, 14 и 21.
НОД(7, 14, 21) = 7.
2. Переменные множители:
- Переменная $a$ присутствует во всех членах в степенях $a^4$, $a^3$, $a^2$. Наименьшая степень — $a^2$.
- Переменная $b$ присутствует во всех членах в степенях $b^3$, $b^4$, $b^5$. Наименьшая степень — $b^3$.
Общий множитель для переменных — $a^2b^3$.
Итоговый общий множитель — $7a^2b^3$.
Вынесем $7a^2b^3$ за скобки:
$7a^2b^3(\frac{7a^4b^3}{7a^2b^3} - \frac{14a^3b^4}{7a^2b^3} + \frac{21a^2b^5}{7a^2b^3}) = 7a^2b^3(a^{4-2}b^{3-3} - 2a^{3-2}b^{4-3} + 3a^{2-2}b^{5-3})$
$7a^2b^3(a^2b^0 - 2a^1b^1 + 3a^0b^2) = 7a^2b^3(a^2 - 2ab + 3b^2)$
Ответ: $7a^2b^3(a^2 - 2ab + 3b^2)$

4) $20b^6c^5 - 45b^5c^6 - 30b^5c^5$

Найдем общий множитель для членов $20b^6c^5$, $-45b^5c^6$ и $-30b^5c^5$.
1. Числовые коэффициенты: Найдем НОД для чисел 20, 45 и 30.
- Разложим на простые множители: $20 = 2^2 \cdot 5$, $45 = 3^2 \cdot 5$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
- Общий множитель — 5. НОД(20, 45, 30) = 5.
2. Переменные множители:
- Переменная $b$ присутствует во всех членах в степенях $b^6$, $b^5$, $b^5$. Наименьшая степень — $b^5$.
- Переменная $c$ присутствует во всех членах в степенях $c^5$, $c^6$, $c^5$. Наименьшая степень — $c^5$.
Общий множитель для переменных — $b^5c^5$.
Итоговый общий множитель — $5b^5c^5$.
Вынесем $5b^5c^5$ за скобки:
$5b^5c^5(\frac{20b^6c^5}{5b^5c^5} - \frac{45b^5c^6}{5b^5c^5} - \frac{30b^5c^5}{5b^5c^5}) = 5b^5c^5(4b^{6-5}c^{5-5} - 9b^{5-5}c^{6-5} - 6b^{5-5}c^{5-5})$
$5b^5c^5(4b^1c^0 - 9b^0c^1 - 6b^0c^0) = 5b^5c^5(4b - 9c - 6)$
Ответ: $5b^5c^5(4b - 9c - 6)$