Номер 556, страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 556, страница 96.

Условие.

556. Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — любое натуральное число. Требуется доказать, что сумма этого числа и его квадрата, то есть выражение $n + n^2$, является чётным числом.

Для доказательства преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки:
$n + n^2 = n(n+1)$

Полученное выражение $n(n+1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел. Любое натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $n$ — чётное число.
Если число $n$ является чётным, то оно делится на 2. Произведение чётного числа на любое другое натуральное число ($n+1$) всегда является чётным. Например, если $n=2k$, то $n(n+1) = 2k(2k+1)$, что очевидно делится на 2.

Случай 2: $n$ — нечётное число.
Если число $n$ является нечётным, то следующее за ним число $n+1$ будет чётным. Произведение нечётного числа ($n$) на чётное ($n+1$) всегда является чётным. Например, если $n=2k-1$, то $n+1 = (2k-1)+1 = 2k$. Тогда их произведение $n(n+1) = (2k-1)(2k)$, что очевидно делится на 2.

Таким образом, в любом случае один из множителей ($n$ или $n+1$) является чётным числом. Произведение, в котором хотя бы один из множителей является чётным, всегда будет чётным числом. Следовательно, сумма любого натурального числа и его квадрата всегда является чётным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как сумма натурального числа $n$ и его квадрата $n^2$ равна $n(n+1)$, то есть произведению двух последовательных натуральных чисел, одно из которых всегда чётное, а значит, и всё произведение является чётным.