Страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

602. Разложите на множители трёхчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

1) $x^2 + 8x + 12;$

2) $x^2 - 5x + 4;$

3) $x^2 + 7x - 8;$

4) $x^2 - 4x - 5.$

1) $x^2 + 8x + 12$

Чтобы разложить трёхчлен на множители, представим средний член $8x$ в виде суммы двух подобных слагаемых. Для этого нам нужно найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $x$ (то есть 8), а их произведение равно свободному члену (то есть 12). Этими числами являются 2 и 6, так как $2 + 6 = 8$ и $2 \cdot 6 = 12$.

Теперь представим $8x$ в виде суммы $2x + 6x$ и выполним разложение на множители методом группировки:

$x^2 + 8x + 12 = x^2 + 2x + 6x + 12$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 2x) + (6x + 12)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$x(x + 2) + 6(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x + 6)$

Ответ: $(x + 2)(x + 6)$.

2) $x^2 - 5x + 4$

Представим член $-5x$ в виде суммы. Найдём два числа, сумма которых равна -5, а произведение — 4. Эти числа: -1 и -4, так как $(-1) + (-4) = -5$ и $(-1) \cdot (-4) = 4$.

Запишем трёхчлен, представив $-5x$ как $-x - 4x$, и сгруппируем:

$x^2 - 5x + 4 = x^2 - x - 4x + 4 = (x^2 - x) + (-4x + 4)$

Вынесем общие множители:

$x(x - 1) - 4(x - 1)$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x - 1)(x - 4)$

Ответ: $(x - 1)(x - 4)$.

3) $x^2 + 7x - 8$

Представим член $7x$ в виде суммы. Найдём два числа, сумма которых равна 7, а произведение — -8. Эти числа: 8 и -1, так как $8 + (-1) = 7$ и $8 \cdot (-1) = -8$.

Запишем трёхчлен, представив $7x$ как $8x - x$, и сгруппируем:

$x^2 + 7x - 8 = x^2 + 8x - x - 8 = (x^2 + 8x) + (-x - 8)$

Вынесем общие множители:

$x(x + 8) - 1(x + 8)$

Вынесем общий множитель $(x+8)$:

$(x + 8)(x - 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 8)$.

4) $x^2 - 4x - 5$

Представим член $-4x$ в виде суммы. Найдём два числа, сумма которых равна -4, а произведение — -5. Эти числа: 1 и -5, так как $1 + (-5) = -4$ и $1 \cdot (-5) = -5$.

Запишем трёхчлен, представив $-4x$ как $x - 5x$, и сгруппируем:

$x^2 - 4x - 5 = x^2 + x - 5x - 5 = (x^2 + x) + (-5x - 5)$

Вынесем общие множители:

$x(x + 1) - 5(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x+1)$:

$(x + 1)(x - 5)$

Ответ: $(x + 1)(x - 5)$.

603. Разложите на множители трёхчлен:

1) $x^2 + 4x + 3$;

2) $x^2 - 10x + 16$;

3) $x^2 + 3x - 18$;

4) $x^2 - 4x - 32$.

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Так как во всех заданиях старший коэффициент $a=1$, то формула для разложения имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$. Найдем корни для каждого трехчлена, решив соответствующее квадратное уравнение.

1) $x^2 + 4x + 3$

Чтобы разложить на множители трехчлен $x^2 + 4x + 3$, приравняем его к нулю и найдем корни получившегося квадратного уравнения:
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Коэффициенты данного уравнения: $a = 1$, $b = 4$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-4 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$
Теперь подставим найденные корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$ в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$(x - (-1))(x - (-3)) = (x + 1)(x + 3)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 3)$.

2) $x^2 - 10x + 16$

Разложим на множители трехчлен $x^2 - 10x + 16$. Для этого решим уравнение:
$x^2 - 10x + 16 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -10$, $c = 16$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-(-10) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Подставим корни $x_1 = 8$ и $x_2 = 2$ в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$(x - 8)(x - 2)$.
Ответ: $(x - 8)(x - 2)$.

3) $x^2 + 3x - 18$

Разложим на множители трехчлен $x^2 + 3x - 18$. Решим уравнение:
$x^2 + 3x - 18 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 3$, $c = -18$.
Вычислим дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-3 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$
Подставим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$ в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$(x - 3)(x - (-6)) = (x - 3)(x + 6)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 6)$.

4) $x^2 - 4x - 32$

Разложим на множители трехчлен $x^2 - 4x - 32$. Решим уравнение:
$x^2 - 4x - 32 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -4$, $c = -32$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-4) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-(-4) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Подставим корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -4$ в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$(x - 8)(x - (-4)) = (x - 8)(x + 4)$.
Ответ: $(x - 8)(x + 4)$.

604. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на 6.

Для доказательства того, что выражение $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на 6 при всех натуральных значениях $n$, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Разложение на множители

Рассмотрим данное выражение $P(n) = n^3 + 3n^2 + 2n$.

Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$P(n) = n(n^2 + 3n + 2)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $n^2 + 3n + 2$. Для этого найдем корни уравнения $n^2 + 3n + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $n_1 = -1$ и $n_2 = -2$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно представить в виде произведения:

$n^2 + 3n + 2 = (n - (-1))(n - (-2)) = (n+1)(n+2)$

Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$P(n) = n(n+1)(n+2)$

Полученное выражение представляет собой произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел всегда есть хотя бы одно четное число (то есть делящееся на 2) и ровно одно число, которое делится на 3. Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, их произведение $n(n+1)(n+2)$ будет делиться на $2 \times 3 = 6$.

Таким образом, доказано, что значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Способ 2: Метод математической индукции

Пусть $A(n) = n^3 + 3n^2 + 2n$. Нам нужно доказать, что $A(n)$ делится на 6 для всех натуральных $n$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

$A(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 3 + 2 = 6$.

Число 6 делится на 6. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, $A(k) = k^3 + 3k^2 + 2k$ делится на 6. Это означает, что существует целое число $m$, такое что $k^3 + 3k^2 + 2k = 6m$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$. Рассмотрим выражение $A(k+1)$:

$A(k+1) = (k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)$

Раскроем скобки:

$A(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + (2k + 2)$

$A(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить выражение $A(k)$:

$A(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)$

Первое слагаемое, $(k^3 + 3k^2 + 2k)$, делится на 6 по нашему индукционному предположению.

Рассмотрим второе слагаемое: $3k^2 + 9k + 6$. Вынесем 3 за скобки:

$3k^2 + 9k + 6 = 3(k^2 + 3k + 2)$

Как было показано в первом способе, $k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2)$.

Таким образом, второе слагаемое равно $3(k+1)(k+2)$. Выражение $(k+1)(k+2)$ является произведением двух последовательных целых чисел, одно из которых обязательно четное, поэтому их произведение делится на 2. Пусть $(k+1)(k+2) = 2p$ для некоторого целого $p$.

Тогда второе слагаемое равно $3 \cdot (2p) = 6p$, что означает, что оно делится на 6.

Итак, $A(k+1)$ представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 6. Следовательно, их сумма $A(k+1)$ также делится на 6.

По принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Было доказано, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на 6, так как оно может быть представлено в виде произведения трех последовательных чисел $n(n+1)(n+2)$, которое всегда делится на 2 и на 3, а следовательно, и на 6.

605. Разложите на множители многочлен:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.$

Данный многочлен $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$ можно разложить на множители, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых или метод группировки.

Способ 1: Использование формулы квадрата суммы

Вспомним формулу для квадрата суммы трех слагаемых:

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$

Сравнивая эту общую формулу с данным многочленом, мы видим полное соответствие при $x=a$, $y=b$ и $z=c$.

Таким образом, исходное выражение является полным квадратом суммы $a$, $b$ и $c$.

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a+b+c)^2$

Способ 2: Метод группировки

Мы можем прийти к тому же результату, последовательно группируя слагаемые и применяя формулу квадрата суммы для двух слагаемых $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. Сгруппируем члены, содержащие $a^2$, $b^2$ и $2ab$. Эти члены образуют полный квадрат.

$(a^2 + 2ab + b^2) + 2bc + 2ac + c^2$

2. Заменим первую группу на $(a+b)^2$:

$(a+b)^2 + 2bc + 2ac + c^2$

3. В членах $2bc$ и $2ac$ вынесем за скобки общий множитель $2c$:

$(a+b)^2 + 2c(b+a) + c^2$

4. Полученное выражение $(a+b)^2 + 2c(a+b) + c^2$ снова является формулой полного квадрата, где первое слагаемое – это $(a+b)$, а второе – $c$.

Обозначим $X = (a+b)$ и $Y = c$. Выражение примет вид $X^2 + 2XY + Y^2$, что равно $(X+Y)^2$.

5. Подставим обратно значения $X$ и $Y$:

$((a+b)+c)^2$

6. Раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный вид множителей:

$(a+b+c)^2$

Ответ: $(a+b+c)^2$

606. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.

Для доказательства того, что значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10 при любом натуральном значении n, преобразуем данное выражение.

Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$ (3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n) $

Воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Представим $3^{n+2}$ как $3^n \cdot 3^2$ и $2^{n+2}$ как $2^n \cdot 2^2$:
$ (3^n \cdot 3^2 + 3^n) - (2^n \cdot 2^2 + 2^n) $

Вычислим квадраты:
$ (9 \cdot 3^n + 3^n) - (4 \cdot 2^n + 2^n) $

Теперь вынесем общие множители $3^n$ и $2^n$ за скобки:
$ 3^n(9 + 1) - 2^n(4 + 1) $

Выполним сложение в скобках:
$ 10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n $

Рассмотрим полученное выражение. Первое слагаемое, $10 \cdot 3^n$, очевидно, делится на 10, так как содержит множитель 10.

Рассмотрим второе слагаемое, $5 \cdot 2^n$. Поскольку n — натуральное число, то $n \ge 1$. Мы можем переписать это слагаемое следующим образом:
$ 5 \cdot 2^n = 5 \cdot 2 \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1} $

Так как $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$, и $2^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $10 \cdot 2^{n-1}$ также делится на 10.

Исходное выражение представляет собой разность двух слагаемых ($10 \cdot 3^n$ и $10 \cdot 2^{n-1}$), каждое из которых делится на 10. Разность чисел, делящихся на 10, также делится на 10.
Можно вынести общий множитель 10 за скобку:
$ 10 \cdot 3^n - 10 \cdot 2^{n-1} = 10(3^n - 2^{n-1}) $

Поскольку $n$ — натуральное число, $3^n$ и $2^{n-1}$ являются целыми числами, и их разность $(3^n - 2^{n-1})$ тоже является целым числом. Таким образом, все выражение представляет собой произведение числа 10 на целое число, а значит, оно делится на 10 при любом натуральном n.

Ответ: Утверждение доказано.

607. Известно, что при некоторых значениях x и y выполняется равенство $x^2 + y^2 = 1$. Найдите при этих же значениях x и y значение выражения $2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2$.

Для нахождения значения выражения $2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2$ воспользуемся данным в условии равенством $x^2 + y^2 = 1$.

Преобразуем исходное выражение. Для этого представим некоторые его члены в виде суммы и сгруппируем их таким образом, чтобы можно было использовать известное равенство.

Разложим $2x^4$ как $x^4 + x^4$ и $3x^2y^2$ как $2x^2y^2 + x^2y^2$:

$2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + x^4 + x^2y^2 + y^2$

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы: $x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$. Заменим эту часть выражения:

$(x^2 + y^2)^2 + x^4 + x^2y^2 + y^2$

Теперь подставим значение $x^2 + y^2 = 1$ в полученное выражение:

$1^2 + x^4 + x^2y^2 + y^2 = 1 + x^4 + x^2y^2 + y^2$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$1 + x^2(x^2 + y^2) + y^2$

Снова воспользуемся условием $x^2 + y^2 = 1$:

$1 + x^2 \cdot 1 + y^2 = 1 + x^2 + y^2$

И, наконец, еще раз применим исходное равенство к сумме $x^2 + y^2$:

$1 + (x^2 + y^2) = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2

608. В турнире по волейболу участвовали 9 команд. Каждая команда сыграла с каждой другой по 2 раза. Сколько всего в турнире было сыграно матчей?

Для решения этой задачи нужно сначала вычислить, сколько уникальных пар команд можно составить из 9 участников. Это определит количество матчей, если бы каждая команда играла с каждой другой ровно один раз (один круг).

Каждая из 9 команд должна сыграть с 8 другими командами. Если мы просто умножим $9$ на $8$, то получим $72$. Однако в этом случае каждая игра будет посчитана дважды (например, матч "Команда 1 - Команда 2" и матч "Команда 2 - Команда 1"). Чтобы избежать двойного счета, результат нужно разделить на 2.

Количество матчей в одном круге можно рассчитать по формуле числа сочетаний из $n$ по $k$, где $n=9$ (всего команд), а $k=2$ (команды в одной игре), или по более простой формуле для такого случая:
Количество матчей в одном круге $= \frac{n \times (n-1)}{2}$
Подставим $n=9$:
$\frac{9 \times (9-1)}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$ матчей.

Итак, если бы каждая команда играла с каждой по одному разу, было бы сыграно 36 матчей.

По условию задачи, каждая команда сыграла с каждой по 2 раза. Это значит, что всего было проведено два таких круга. Следовательно, общее количество матчей в турнире в два раза больше:
$36 \times 2 = 72$ матча.

Ответ: 72.

609. (Задача из русского фольклора) Пастушок пригнал на поляну овец. На поляне были колышки. Если к каждому колышку он привяжет по овце, то для одной колышка не хватит. Если же к каждому колышку он привяжет по две овцы, то один колышек останется свободным. Сколько овец пригнал пастушок?

Для решения этой задачи давайте обозначим количество овец буквой $о$, а количество колышков — буквой $к$.

Проанализируем условия задачи и составим уравнения.

1. «Если к каждому колышку он привяжет по овце, то для одной колышка не хватит».

Это означает, что количество овец на одну больше, чем количество колышков. Мы можем записать это в виде уравнения:

$о = к + 1$

2. «Если же к каждому колышку он привяжет по две овцы, то один колышек останется свободным».

Это означает, что для того, чтобы привязать всех овец по две, пастушок использует все колышки, кроме одного. Количество используемых колышков в этом случае равно $к - 1$. Так как к каждому из этих колышков привязано по две овцы, общее количество овец можно выразить так:

$о = 2 \cdot (к - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Так как левые части обоих уравнений равны $о$, мы можем приравнять их правые части:

$к + 1 = 2 \cdot (к - 1)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти количество колышков $к$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$к + 1 = 2к - 2$

Перенесем все слагаемые с $к$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$1 + 2 = 2к - к$

$3 = к$

Мы выяснили, что на поляне было 3 колышка.

Чтобы найти количество овец, подставим найденное значение $к = 3$ в любое из наших первоначальных уравнений. Например, в первое:

$о = к + 1 = 3 + 1 = 4$

Таким образом, у пастушка было 4 овцы.

Проверим себя: если овец 4, а колышков 3, то при попытке привязать по одной овце к колышку одна овца останется (4 > 3), что соответствует первому условию. Если привязывать по две овцы, то 4 овцы займут $4 / 2 = 2$ колышка, и один колышек останется свободным (3 - 2 = 1), что соответствует второму условию.

Ответ: 4 овцы.

610. Ольга и Дмитрий могут прополоть огород, работая вместе, за 2,4 ч. Ольга может сделать это самостоятельно за 4 ч. Сколько времени потребуется Дмитрию, чтобы самостоятельно прополоть огород?

Для решения задачи примем всю работу (прополка огорода) за 1. Производительность труда (скорость работы) определяется как объем работы, деленный на время.

1. Найдем производительность Ольги ($P_О$). Она выполняет всю работу за 4 часа, значит, ее производительность:
$P_О = \frac{1}{4}$ огорода в час.

2. Найдем совместную производительность Ольги и Дмитрия ($P_{совм}$). Они выполняют всю работу за 2,4 часа:
$P_{совм} = \frac{1}{2,4}$ огорода в час.

3. Совместная производительность равна сумме производительностей каждого работника:
$P_{совм} = P_О + P_Д$, где $P_Д$ — производительность Дмитрия.

4. Выразим производительность Дмитрия из этого уравнения:
$P_Д = P_{совм} - P_О$
Подставим числовые значения:
$P_Д = \frac{1}{2,4} - \frac{1}{4}$

5. Для выполнения вычитания преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$
Тогда:
$\frac{1}{2,4} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}$
Теперь найдем $P_Д$:
$P_Д = \frac{5}{12} - \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P_Д = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
Таким образом, производительность Дмитрия составляет $\frac{1}{6}$ огорода в час.

6. Зная производительность Дмитрия, найдем время ($t_Д$), за которое он самостоятельно прополет весь огород:
$t_Д = \frac{1}{P_Д} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$ часов.

Ответ: Дмитрию потребуется 6 часов, чтобы самостоятельно прополоть огород.

611. В одном бидоне было в 4 раза больше молока, чем в другом. Когда из первого бидона перелили 10 л молока во второй, то объём молока во втором бидоне составил $$\frac{2}{3}$ объёма молока, оставшегося в первом бидоне. Сколько литров молока было в каждом бидоне сначала?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ литров молока было во втором бидоне. Согласно условию, в первом бидоне было в 4 раза больше, то есть $4x$ литров.

Когда из первого бидона перелили 10 литров, количество молока в нем стало равно $(4x - 10)$ литров.

Эти 10 литров добавили во второй бидон, и количество молока в нем стало равно $(x + 10)$ литров.

По условию, после этого объем молока во втором бидоне составил $\frac{2}{3}$ от объема, оставшегося в первом. На основе этого составим уравнение:

$x + 10 = \frac{2}{3} \cdot (4x - 10)$

Для решения уравнения умножим обе его части на 3, чтобы избавиться от знаменателя дроби:

$3 \cdot (x + 10) = 2 \cdot (4x - 10)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x + 30 = 8x - 20$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую часть уравнения:

$30 + 20 = 8x - 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$50 = 5x$

Найдем значение $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{50}{5}$

$x = 10$

Итак, мы нашли, что во втором бидоне изначально было 10 литров молока.

Теперь найдем, сколько молока было в первом бидоне:

$4x = 4 \cdot 10 = 40$

Таким образом, в первом бидоне было 40 литров молока.

Проверим полученные результаты. Изначально: 40 л в первом бидоне и 10 л во втором (40 это 4 раза по 10). После переливания: в первом осталось $40 - 10 = 30$ л, а во втором стало $10 + 10 = 20$ л. Соотношение объемов: $\frac{20}{30} = \frac{2}{3}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: сначала в первом бидоне было 40 литров молока, а во втором — 10 литров.

612. Возведите в квадрат одночлен:

1) $2a$;

2) $a^2$;

3) $3b^3$;

4) $7x^4$;

5) $0,3x$;

6) $0,4y^5z^2$;

7) $\frac{1}{6}a^2b^3c^4$;

8) $1\frac{1}{3}m^6n$.

Чтобы возвести одночлен в квадрат, необходимо использовать свойство степени произведения $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Это означает, что нужно возвести в квадрат числовой коэффициент и каждую переменную в одночлене, умножив ее показатель степени на 2.

1) Возведем в квадрат одночлен $2a$.

Применяем правило: возводим в квадрат коэффициент $2$ и переменную $a$.

$(2a)^2 = 2^2 \cdot a^{1 \cdot 2} = 4a^2$.

Ответ: $4a^2$

2) Возведем в квадрат одночлен $a^2$.

Здесь коэффициент равен 1. Используем свойство возведения степени в степень.

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.

Ответ: $a^4$

3) Возведем в квадрат одночлен $3b^3$.

Возводим в квадрат коэффициент $3$ и множитель $b^3$.

$(3b^3)^2 = 3^2 \cdot (b^3)^2 = 9 \cdot b^{3 \cdot 2} = 9b^6$.

Ответ: $9b^6$

4) Возведем в квадрат одночлен $7x^4$.

Возводим в квадрат коэффициент $7$ и множитель $x^4$.

$(7x^4)^2 = 7^2 \cdot (x^4)^2 = 49 \cdot x^{4 \cdot 2} = 49x^8$.

Ответ: $49x^8$

5) Возведем в квадрат одночлен $0,3x$.

Возводим в квадрат десятичную дробь $0,3$ и переменную $x$.

$(0,3x)^2 = (0,3)^2 \cdot x^2 = 0,09x^2$.

Ответ: $0,09x^2$

6) Возведем в квадрат одночлен $0,4y^5z^2$.

Возводим в квадрат каждый множитель: коэффициент $0,4$, переменную $y^5$ и переменную $z^2$.

$(0,4y^5z^2)^2 = (0,4)^2 \cdot (y^5)^2 \cdot (z^2)^2 = 0,16 \cdot y^{5 \cdot 2} \cdot z^{2 \cdot 2} = 0,16y^{10}z^4$.

Ответ: $0,16y^{10}z^4$

7) Возведем в квадрат одночлен $\frac{1}{6}a^2b^3c^4$.

Возводим в квадрат дробный коэффициент $\frac{1}{6}$ и каждую из переменных.

$(\frac{1}{6}a^2b^3c^4)^2 = (\frac{1}{6})^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2 \cdot (c^4)^2 = \frac{1^2}{6^2} \cdot a^{2 \cdot 2} \cdot b^{3 \cdot 2} \cdot c^{4 \cdot 2} = \frac{1}{36}a^4b^6c^8$.

Ответ: $\frac{1}{36}a^4b^6c^8$

8) Возведем в квадрат одночлен $1\frac{1}{3}m^6n$.

Сначала представим смешанное число $1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь возводим в квадрат одночлен $(\frac{4}{3}m^6n)$.

$(\frac{4}{3}m^6n)^2 = (\frac{4}{3})^2 \cdot (m^6)^2 \cdot n^2 = \frac{4^2}{3^2} \cdot m^{6 \cdot 2} \cdot n^{1 \cdot 2} = \frac{16}{9}m^{12}n^2$.

Результат можно представить в виде неправильной дроби или смешанного числа: $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$. В алгебре чаще используется форма неправильной дроби.

Ответ: $\frac{16}{9}m^{12}n^2$