Номер 605, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 605, страница 103.

Условие.

605. Разложите на множители многочлен:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данный многочлен $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$ можно разложить на множители, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых или метод группировки.

Способ 1: Использование формулы квадрата суммы

Вспомним формулу для квадрата суммы трех слагаемых:

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$

Сравнивая эту общую формулу с данным многочленом, мы видим полное соответствие при $x=a$, $y=b$ и $z=c$.

Таким образом, исходное выражение является полным квадратом суммы $a$, $b$ и $c$.

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a+b+c)^2$

Способ 2: Метод группировки

Мы можем прийти к тому же результату, последовательно группируя слагаемые и применяя формулу квадрата суммы для двух слагаемых $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. Сгруппируем члены, содержащие $a^2$, $b^2$ и $2ab$. Эти члены образуют полный квадрат.

$(a^2 + 2ab + b^2) + 2bc + 2ac + c^2$

2. Заменим первую группу на $(a+b)^2$:

$(a+b)^2 + 2bc + 2ac + c^2$

3. В членах $2bc$ и $2ac$ вынесем за скобки общий множитель $2c$:

$(a+b)^2 + 2c(b+a) + c^2$

4. Полученное выражение $(a+b)^2 + 2c(a+b) + c^2$ снова является формулой полного квадрата, где первое слагаемое – это $(a+b)$, а второе – $c$.

Обозначим $X = (a+b)$ и $Y = c$. Выражение примет вид $X^2 + 2XY + Y^2$, что равно $(X+Y)^2$.

5. Подставим обратно значения $X$ и $Y$:

$((a+b)+c)^2$

6. Раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный вид множителей:

$(a+b+c)^2$

Ответ: $(a+b+c)^2$