Номер 601, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 601, страница 102.

Условие.

601. Разложите на множители выражение ($n$ – натуральное число):

1) $a^{n+1} + a^n + a + 1;$

2) $b^{n+2} - b - 1 + b^{n+1};$

3) $3y^{n+3} - 3y^2 - 5 + 5y^{n+1}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения на множители выражения $a^{n+1} + a^n + a + 1$ применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(a^{n+1} + a^n) + (a + 1)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^n$:
$a^n(a + 1) + 1(a + 1)$
Теперь у получившихся слагаемых есть общий множитель $(a + 1)$, который мы также вынесем за скобки:
$(a + 1)(a^n + 1)$
Ответ: $(a + 1)(a^n + 1)$

2) В выражении $b^{n+2} - b - 1 + b^{n+1}$ для удобства переставим слагаемые местами, чтобы сгруппировать степени переменной $b$:
$b^{n+2} + b^{n+1} - b - 1$
Теперь сгруппируем первые два и последние два слагаемых:
$(b^{n+2} + b^{n+1}) - (b + 1)$
Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $b^{n+1}$:
$b^{n+1}(b + 1) - 1(b + 1)$
Вынесем общий множитель $(b + 1)$ за скобки:
$(b + 1)(b^{n+1} - 1)$
Ответ: $(b + 1)(b^{n+1} - 1)$

3) Чтобы разложить на множители выражение $3y^{n+3} - 3y^2 - 5 + 5y^{n+1}$, перегруппируем слагаемые, объединяя члены с одинаковыми числовыми коэффициентами:
$(3y^{n+3} - 3y^2) + (5y^{n+1} - 5)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп. В первой группе это $3y^2$, во второй — $5$. Применяем свойство степеней $y^{n+3} : y^2 = y^{n+3-2} = y^{n+1}$:
$3y^2(y^{n+1} - 1) + 5(y^{n+1} - 1)$
Теперь мы видим общий множитель $(y^{n+1} - 1)$, который можно вынести за скобки:
$(y^{n+1} - 1)(3y^2 + 5)$
Ответ: $(3y^2 + 5)(y^{n+1} - 1)$