Номер 595, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 595, страница 102.

Условие.

595. Найдите значение выражения:

1) $2a + b + 2a^2 + ab$, если $a = -3, b = 4;$

2) $3x^3 - x^2 - 6x + 2$, если $x = \frac{2}{3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для нахождения значения выражения $2a + b + 2a^2 + ab$ при заданных $a = -3$ и $b = 4$ можно сначала упростить выражение, а затем подставить значения. Это часто помогает избежать громоздких вычислений.

Выполним группировку слагаемых и вынесем общие множители за скобки:
$2a + b + 2a^2 + ab = (2a + 2a^2) + (b + ab)$
Из первой группы вынесем $2a$, а из второй $b$:
$2a(1 + a) + b(1 + a)$
Теперь мы видим общий множитель $(1 + a)$, который тоже можно вынести за скобку:
$(1 + a)(2a + b)$

Теперь подставим значения $a = -3$ и $b = 4$ в полученное упрощенное выражение:
$(1 + (-3))(2 \cdot (-3) + 4) = (-2)(-6 + 4) = (-2) \cdot (-2) = 4$.

Для проверки можно выполнить прямую подстановку в исходное выражение:
$2 \cdot (-3) + 4 + 2 \cdot (-3)^2 + (-3) \cdot 4 = -6 + 4 + 2 \cdot 9 - 12 = -6 + 4 + 18 - 12 = -2 + 18 - 12 = 16 - 12 = 4$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 4.

2) Найдем значение выражения $3x^3 - x^2 - 6x + 2$, если $x = \frac{2}{3}$.
В данном случае вычисления могут быть сложными из-за дробей. Попробуем сначала упростить выражение, применив метод группировки слагаемых.
$(3x^3 - x^2) + (-6x + 2)$
Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой $x^2$, из второй $-2$:
$x^2(3x - 1) - 2(3x - 1)$
Теперь вынесем общий множитель $(3x - 1)$:
$(3x - 1)(x^2 - 2)$

Подставим значение $x = \frac{2}{3}$ в это упрощенное выражение. Это значительно облегчит расчеты.
$(3 \cdot \frac{2}{3} - 1)((\frac{2}{3})^2 - 2)$
Вычислим значение в каждой скобке отдельно:
Первая скобка: $3 \cdot \frac{2}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$.
Вторая скобка: $(\frac{2}{3})^2 - 2 = \frac{4}{9} - 2 = \frac{4}{9} - \frac{18}{9} = \frac{4 - 18}{9} = -\frac{14}{9}$.
Теперь перемножим результаты:
$1 \cdot (-\frac{14}{9}) = -\frac{14}{9}$.
Можно также представить ответ в виде смешанной дроби: $-\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9}$.
Ответ: $-\frac{14}{9}$.