Номер 592, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 592, страница 101.

Условие.

592. Разложите на множители многочлен:

1) $a^3 + a^2 + a + 1;$

2) $x^5 - 3x^3 + 4x^2 - 12;$

3) $c^6 - 10c^4 - 5c^2 + 50;$

4) $y^3 - 18 + 6y^2 - 3y;$

5) $a^2 - ab + ac - bc;$

6) $20a^3bc - 28ac^2 + 15a^2b^2 - 21bc;$

7) $x^2y^2 + xy + axy + a;$

8) $24x^6 - 44x^4y - 18x^2y^3 + 33y^4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a^3 + a^2 + a + 1$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: $ (a^3 + a^2) + (a + 1) $.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $a^2$, а вторая группа уже имеет нужный вид $(a+1)$, поэтому вынесем 1: $ a^2(a + 1) + 1 \cdot (a + 1) $.

Теперь мы видим общий множитель $(a + 1)$, который можно вынести за скобки: $ (a + 1)(a^2 + 1) $.

Ответ: $(a + 1)(a^2 + 1)$

2) $x^5 - 3x^3 + 4x^2 - 12$

Сгруппируем члены многочлена попарно: $ (x^5 - 3x^3) + (4x^2 - 12) $.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^3$, из второй — 4: $ x^3(x^2 - 3) + 4(x^2 - 3) $.

Вынесем общий множитель $(x^2 - 3)$ за скобки: $ (x^2 - 3)(x^3 + 4) $.

Ответ: $(x^2 - 3)(x^3 + 4)$

3) $c^6 - 10c^4 - 5c^2 + 50$

Сгруппируем члены многочлена: $ (c^6 - 10c^4) + (-5c^2 + 50) $.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $c^4$, из второй — $-5$: $ c^4(c^2 - 10) - 5(c^2 - 10) $.

Вынесем общий множитель $(c^2 - 10)$ за скобки: $ (c^2 - 10)(c^4 - 5) $.

Ответ: $(c^2 - 10)(c^4 - 5)$

4) $y^3 - 18 + 6y^2 - 3y$

Для удобства группировки переставим члены многочлена, расположив их по убыванию степеней $y$: $ y^3 + 6y^2 - 3y - 18 $.

Сгруппируем члены попарно: $ (y^3 + 6y^2) + (-3y - 18) $.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $y^2$, из второй — $-3$: $ y^2(y + 6) - 3(y + 6) $.

Вынесем общий множитель $(y + 6)$ за скобки: $ (y + 6)(y^2 - 3) $.

Ответ: $(y + 6)(y^2 - 3)$

5) $a^2 - ab + ac - bc$

Сгруппируем члены многочлена попарно: $ (a^2 - ab) + (ac - bc) $.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $a$, из второй — $c$: $ a(a - b) + c(a - b) $.

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки: $ (a - b)(a + c) $.

Ответ: $(a - b)(a + c)$

6) $20a^3bc - 28ac^2 + 15a^2b^2 - 21bc$

Перегруппируем члены многочлена для удобства разложения. Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым: $ (20a^3bc + 15a^2b^2) + (-28ac^2 - 21bc) $.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $5a^2b$, из второй — $-7c$: $ 5a^2b(4ac + 3b) - 7c(4ac + 3b) $.

Теперь вынесем общий множитель $(4ac + 3b)$ за скобки: $ (4ac + 3b)(5a^2b - 7c) $.

Ответ: $(4ac + 3b)(5a^2b - 7c)$

7) $x^2y^2 + xy + axy + a$

Сгруппируем члены многочлена попарно: $ (x^2y^2 + xy) + (axy + a) $.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $xy$, из второй — $a$: $ xy(xy + 1) + a(xy + 1) $.

Вынесем общий множитель $(xy + 1)$ за скобки: $ (xy + 1)(xy + a) $.

Ответ: $(xy + 1)(xy + a)$

8) $24x^6 - 44x^4y - 18x^2y^3 + 33y^4$

Сгруппируем члены многочлена попарно в том порядке, в котором они даны: $ (24x^6 - 44x^4y) + (-18x^2y^3 + 33y^4) $.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $4x^4$, из второй — $-3y^3$: $ 4x^4(6x^2 - 11y) - 3y^3(6x^2 - 11y) $.

Вынесем общий множитель $(6x^2 - 11y)$ за скобки: $ (6x^2 - 11y)(4x^4 - 3y^3) $.

Ответ: $(6x^2 - 11y)(4x^4 - 3y^3)$