Номер 590, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 590, страница 101.

Условие.

590. Разложите на множители многочлен:

1) $ma + mb + 4a + 4b;$

2) $3x + cy + cx + 3y;$

3) $5a - 5b + ap - bp;$

4) $7m + mn + 7 + n;$

5) $a - 1 + ab - b;$

6) $xy + 8y - 2x - 16;$

7) $ab + ac - b - c;$

8) $3p - 3k - 4ap + 4ak.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения многочлена $ma + mb + 4a + 4b$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых: $(ma + mb) + (4a + 4b)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$, а во второй — общий множитель $4$. Получим выражение: $m(a + b) + 4(a + b)$. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a + b)$, который также можно вынести за скобки. В результате получаем: $(a + b)(m + 4)$.
Ответ: $(a + b)(m + 4)$.

2) В многочлене $3x + cy + cx + 3y$ слагаемые можно сгруппировать по-разному. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$. Для этого поменяем местами второе и третье слагаемые: $3x + cx + 3y + cy$. Теперь сгруппируем их: $(3x + cx) + (3y + cy)$. В первой группе вынесем за скобки $x$, а во второй — $y$. Получим: $x(3 + c) + y(3 + c)$. Общий множитель $(3 + c)$ выносим за скобки: $(3 + c)(x + y)$.
Ответ: $(3 + c)(x + y)$.

3) Рассмотрим многочлен $5a - 5b + ap - bp$. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(5a - 5b) + (ap - bp)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $5$, а во второй — $p$. Получим: $5(a - b) + p(a - b)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - b)$: $(a - b)(5 + p)$.
Ответ: $(a - b)(5 + p)$.

4) В многочлене $7m + mn + 7 + n$ перегруппируем слагаемые для удобства: $7m + 7 + mn + n$. Сгруппируем их: $(7m + 7) + (mn + n)$. В первой группе вынесем за скобки $7$, а во второй — $n$. Получим: $7(m + 1) + n(m + 1)$. Общий множитель $(m + 1)$ выносим за скобки: $(m + 1)(7 + n)$.
Ответ: $(m + 1)(7 + n)$.

5) Для разложения многочлена $a - 1 + ab - b$ на множители перегруппируем слагаемые: $(a + ab) + (-1 - b)$. Из первой группы вынесем $a$, из второй $-1$: $a(1 + b) - 1(1 + b)$. Теперь вынесем общий множитель $(1+b)$: $(1 + b)(a - 1)$. Альтернативный способ группировки: $(a - 1) + (ab - b) = 1(a - 1) + b(a - 1) = (a - 1)(1 + b)$.
Ответ: $(a - 1)(b + 1)$.

6) В многочлене $xy + 8y - 2x - 16$ сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(xy + 8y) + (-2x - 16)$. В первой группе вынесем за скобки $y$, а во второй — $-2$. Получим: $y(x + 8) - 2(x + 8)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x + 8)$: $(x + 8)(y - 2)$.
Ответ: $(x + 8)(y - 2)$.

7) Рассмотрим многочлен $ab + ac - b - c$. Сгруппируем слагаемые: $(ab + ac) + (-b - c)$. В первой группе вынесем за скобки $a$, а во второй — $-1$. Получим: $a(b + c) - 1(b + c)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b + c)$: $(b + c)(a - 1)$.
Ответ: $(a - 1)(b + c)$.

8) В многочлене $3p - 3k - 4ap + 4ak$ сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(3p - 3k) + (-4ap + 4ak)$. В первой группе вынесем за скобки $3$, а во второй — $-4a$. Получим: $3(p - k) - 4a(p - k)$. Обратите внимание, что при вынесении $-4a$ из $4ak$ остается $-k$, так как $-4a \cdot (-k) = 4ak$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(p - k)$: $(p - k)(3 - 4a)$.
Ответ: $(p - k)(3 - 4a)$.