Номер 599, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 599, страница 102.

Условие.

599. Разложите на множители многочлен:

1) $ax^2 + ay - bx^2 - by + cx^2 + cy;$

2) $a^2b + a + ab^2 + b + 3ab + 3;$

3) $x^3 - x^2 + x^2y + x - xy + y;$

4) $m^2n + mn - 5 - 5m + n - 5m^2;$

5) $x^6 - 2x^5 + 4x^3 - 8x^2 + 5x - 10;$

6) $a^3b + ab^2 - abc^3 - a^2c - bc + c^4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения многочлена $ax^2 + ay - bx^2 - by + cx^2 + cy$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x^2$, и слагаемые, содержащие $y$:

$(ax^2 - bx^2 + cx^2) + (ay - by + cy)$

Вынесем за скобки общие множители в каждой группе. В первой группе это $x^2$, во второй — $y$:

$x^2(a - b + c) + y(a - b + c)$

Теперь мы видим общий множитель $(a - b + c)$, который тоже можно вынести за скобки:

$(a - b + c)(x^2 + y)$

Ответ: $(a - b + c)(x^2 + y)$

2) Разложим на множители многочлен $a^2b + a + ab^2 + b + 3ab + 3$. Сгруппируем слагаемые в пары:

$(a^2b + a) + (ab^2 + b) + (3ab + 3)$

Вынесем общие множители из каждой пары. Из первой пары выносим $a$, из второй $b$, из третьей $3$:

$a(ab + 1) + b(ab + 1) + 3(ab + 1)$

Теперь мы видим общий для всех слагаемых множитель $(ab + 1)$, который можно вынести за скобки:

$(ab + 1)(a + b + 3)$

Ответ: $(ab + 1)(a + b + 3)$

3) Для разложения многочлена $x^3 - x^2 + x^2y + x - xy + y$ на множители сгруппируем слагаемые, не содержащие $y$, и слагаемые, содержащие $y$:

$(x^3 - x^2 + x) + (x^2y - xy + y)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $x$, во второй — $y$:

$x(x^2 - x + 1) + y(x^2 - x + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - x + 1)$ за скобки:

$(x^2 - x + 1)(x + y)$

Ответ: $(x + y)(x^2 - x + 1)$

4) Разложим на множители многочлен $m^2n + mn - 5 - 5m + n - 5m^2$. Сначала перегруппируем слагаемые для удобства. Сгруппируем члены, содержащие $n$, и члены, содержащие $-5$:

$(m^2n + mn + n) + (-5m^2 - 5m - 5)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $n$, во второй — $-5$:

$n(m^2 + m + 1) - 5(m^2 + m + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(m^2 + m + 1)$ за скобки:

$(m^2 + m + 1)(n - 5)$

Ответ: $(n - 5)(m^2 + m + 1)$

5) Разложим на множители многочлен $x^6 - 2x^5 + 4x^3 - 8x^2 + 5x - 10$. Применим метод группировки, объединив слагаемые в пары:

$(x^6 - 2x^5) + (4x^3 - 8x^2) + (5x - 10)$

Вынесем общие множители из каждой пары:

$x^5(x - 2) + 4x^2(x - 2) + 5(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^5 + 4x^2 + 5)$

Ответ: $(x - 2)(x^5 + 4x^2 + 5)$

6) Для разложения многочлена $a^3b + ab^2 - abc^3 - a^2c - bc + c^4$ на множители необходимо найти правильную группировку слагаемых. Переставим слагаемые и сгруппируем их следующим образом:

$(a^3b - a^2c) + (ab^2 - bc) + (c^4 - abc^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $a^2$, из второй $b$, а из третьей $-c^3$, чтобы в каждой скобке получить одинаковое выражение:

$a^2(ab - c) + b(ab - c) - c^3(ab - c)$

Теперь вынесем общий множитель $(ab - c)$ за скобки:

$(ab - c)(a^2 + b - c^3)$

Ответ: $(ab - c)(a^2 + b - c^3)$