Номер 600, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 600, страница 102.

Условие.

600. Представьте выражение в виде произведения многочленов:

1) $ab + ac + ad + bx + cx + dx;$

2) $7p - 7k - px + kx + k - p;$

3) $x^3y^3 - x^2y^2 + xy - 6 + 6xy - 6x^2y^2;$

4) $a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Для разложения выражения $ab + ac + ad + bx + cx + dx$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем первые три слагаемых и последние три:

$(ab + ac + ad) + (bx + cx + dx)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — общий множитель $x$:

$a(b + c + d) + x(b + c + d)$

Теперь вынесем общий множитель $(b + c + d)$ за скобки:

$(a + x)(b + c + d)$

Ответ: $(a + x)(b + c + d)$

2)

Для разложения выражения $7p - 7k - px + kx + k - p$ на множители перегруппируем его члены:

$(7p - 7k) + (kx - px) + (k - p)$

Вынесем общие множители в каждой из групп:

$7(p - k) + x(k - p) - (p - k)$

Так как $k - p = -(p - k)$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$7(p - k) - x(p - k) - 1(p - k)$

Теперь вынесем общий множитель $(p - k)$ за скобки:

$(p - k)(7 - x - 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(p - k)(6 - x)$

Ответ: $(p - k)(6 - x)$

3)

В выражении $x³y³ - x²y² + xy - 6 + 6xy - 6x²y²$ сначала приведем подобные слагаемые:

$x³y³ + (-x²y² - 6x²y²) + (xy + 6xy) - 6 = x³y³ - 7x²y² + 7xy - 6$

Для упрощения задачи введем замену переменной $z = xy$. Выражение примет вид:

$z³ - 7z² + 7z - 6$

Чтобы разложить этот кубический многочлен, найдем один из его корней. По теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена являются делителями свободного члена (числа $-6$). Возможные корни: $±1, ±2, ±3, ±6$.

Проверим значение многочлена при $z = 6$:

$P(6) = 6³ - 7 \cdot 6² + 7 \cdot 6 - 6 = 216 - 7 \cdot 36 + 42 - 6 = 216 - 252 + 42 - 6 = 258 - 258 = 0$

Поскольку $P(6) = 0$, то $(z-6)$ является одним из множителей многочлена. Найдем второй множитель, выполнив деление многочлена $z³ - 7z² + 7z - 6$ на $(z - 6)$:

$(z³ - 7z² + 7z - 6) \div (z - 6) = z² - z + 1$

Таким образом, разложение имеет вид: $(z - 6)(z² - z + 1)$.

Квадратный трехчлен $z² - z + 1$ не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант $D = (-1)² - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Теперь выполним обратную замену $z = xy$:

$(xy - 6)( (xy)² - xy + 1) = (xy - 6)(x²y² - xy + 1)$

Ответ: $(xy - 6)(x²y² - xy + 1)$

4)

Для разложения на множители выражения $a⁵ - a⁴b + a³b² - a²b³ + ab⁴ - b⁵$ применим метод группировки. Сгруппируем первые три слагаемых вместе и последние три слагаемых вместе:

$(a⁵ - a⁴b + a³b²) + (-a²b³ + ab⁴ - b⁵)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе это $a³$, во второй — $-b³$:

$a³(a² - ab + b²) - b³(a² - ab + b²)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a² - ab + b²)$:

$(a³ - b³)(a² - ab + b²)$

Первый множитель $(a³ - b³)$ является разностью кубов и может быть разложен дальше по формуле $a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)$.

Подставив это разложение, получаем окончательный результат:

$(a - b)(a² + ab + b²)(a² - ab + b²)$

Ответ: $(a - b)(a² + ab + b²)(a² - ab + b²)$