Номер 607, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 607, страница 103.

Условие.

607. Известно, что при некоторых значениях x и y выполняется равенство $x^2 + y^2 = 1$. Найдите при этих же значениях x и y значение выражения $2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения значения выражения $2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2$ воспользуемся данным в условии равенством $x^2 + y^2 = 1$.

Преобразуем исходное выражение. Для этого представим некоторые его члены в виде суммы и сгруппируем их таким образом, чтобы можно было использовать известное равенство.

Разложим $2x^4$ как $x^4 + x^4$ и $3x^2y^2$ как $2x^2y^2 + x^2y^2$:

$2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + x^4 + x^2y^2 + y^2$

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы: $x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$. Заменим эту часть выражения:

$(x^2 + y^2)^2 + x^4 + x^2y^2 + y^2$

Теперь подставим значение $x^2 + y^2 = 1$ в полученное выражение:

$1^2 + x^4 + x^2y^2 + y^2 = 1 + x^4 + x^2y^2 + y^2$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$1 + x^2(x^2 + y^2) + y^2$

Снова воспользуемся условием $x^2 + y^2 = 1$:

$1 + x^2 \cdot 1 + y^2 = 1 + x^2 + y^2$

И, наконец, еще раз применим исходное равенство к сумме $x^2 + y^2$:

$1 + (x^2 + y^2) = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2