Номер 602, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 602, страница 103.

Условие.

602. Разложите на множители трёхчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

1) $x^2 + 8x + 12;$

2) $x^2 - 5x + 4;$

3) $x^2 + 7x - 8;$

4) $x^2 - 4x - 5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 + 8x + 12$

Чтобы разложить трёхчлен на множители, представим средний член $8x$ в виде суммы двух подобных слагаемых. Для этого нам нужно найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при $x$ (то есть 8), а их произведение равно свободному члену (то есть 12). Этими числами являются 2 и 6, так как $2 + 6 = 8$ и $2 \cdot 6 = 12$.

Теперь представим $8x$ в виде суммы $2x + 6x$ и выполним разложение на множители методом группировки:

$x^2 + 8x + 12 = x^2 + 2x + 6x + 12$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 2x) + (6x + 12)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$x(x + 2) + 6(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x + 6)$

Ответ: $(x + 2)(x + 6)$.

2) $x^2 - 5x + 4$

Представим член $-5x$ в виде суммы. Найдём два числа, сумма которых равна -5, а произведение — 4. Эти числа: -1 и -4, так как $(-1) + (-4) = -5$ и $(-1) \cdot (-4) = 4$.

Запишем трёхчлен, представив $-5x$ как $-x - 4x$, и сгруппируем:

$x^2 - 5x + 4 = x^2 - x - 4x + 4 = (x^2 - x) + (-4x + 4)$

Вынесем общие множители:

$x(x - 1) - 4(x - 1)$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x - 1)(x - 4)$

Ответ: $(x - 1)(x - 4)$.

3) $x^2 + 7x - 8$

Представим член $7x$ в виде суммы. Найдём два числа, сумма которых равна 7, а произведение — -8. Эти числа: 8 и -1, так как $8 + (-1) = 7$ и $8 \cdot (-1) = -8$.

Запишем трёхчлен, представив $7x$ как $8x - x$, и сгруппируем:

$x^2 + 7x - 8 = x^2 + 8x - x - 8 = (x^2 + 8x) + (-x - 8)$

Вынесем общие множители:

$x(x + 8) - 1(x + 8)$

Вынесем общий множитель $(x+8)$:

$(x + 8)(x - 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 8)$.

4) $x^2 - 4x - 5$

Представим член $-4x$ в виде суммы. Найдём два числа, сумма которых равна -4, а произведение — -5. Эти числа: 1 и -5, так как $1 + (-5) = -4$ и $1 \cdot (-5) = -5$.

Запишем трёхчлен, представив $-4x$ как $x - 5x$, и сгруппируем:

$x^2 - 4x - 5 = x^2 + x - 5x - 5 = (x^2 + x) + (-5x - 5)$

Вынесем общие множители:

$x(x + 1) - 5(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x+1)$:

$(x + 1)(x - 5)$

Ответ: $(x + 1)(x - 5)$.