Номер 603, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 603, страница 103.

Условие.

603. Разложите на множители трёхчлен:

1) $x^2 + 4x + 3$;

2) $x^2 - 10x + 16$;

3) $x^2 + 3x - 18$;

4) $x^2 - 4x - 32$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Так как во всех заданиях старший коэффициент $a=1$, то формула для разложения имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$. Найдем корни для каждого трехчлена, решив соответствующее квадратное уравнение.

1) $x^2 + 4x + 3$

Чтобы разложить на множители трехчлен $x^2 + 4x + 3$, приравняем его к нулю и найдем корни получившегося квадратного уравнения:
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Коэффициенты данного уравнения: $a = 1$, $b = 4$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-4 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$
Теперь подставим найденные корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$ в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$(x - (-1))(x - (-3)) = (x + 1)(x + 3)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 3)$.

2) $x^2 - 10x + 16$

Разложим на множители трехчлен $x^2 - 10x + 16$. Для этого решим уравнение:
$x^2 - 10x + 16 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -10$, $c = 16$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-(-10) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Подставим корни $x_1 = 8$ и $x_2 = 2$ в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$(x - 8)(x - 2)$.
Ответ: $(x - 8)(x - 2)$.

3) $x^2 + 3x - 18$

Разложим на множители трехчлен $x^2 + 3x - 18$. Решим уравнение:
$x^2 + 3x - 18 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 3$, $c = -18$.
Вычислим дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-3 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$
Подставим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$ в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$(x - 3)(x - (-6)) = (x - 3)(x + 6)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 6)$.

4) $x^2 - 4x - 32$

Разложим на множители трехчлен $x^2 - 4x - 32$. Решим уравнение:
$x^2 - 4x - 32 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -4$, $c = -32$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-4) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-(-4) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Подставим корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -4$ в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$(x - 8)(x - (-4)) = (x - 8)(x + 4)$.
Ответ: $(x - 8)(x + 4)$.