Номер 606, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 606, страница 103.

Условие.

606. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10 при любом натуральном значении n, преобразуем данное выражение.

Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:
$ (3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n) $

Воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Представим $3^{n+2}$ как $3^n \cdot 3^2$ и $2^{n+2}$ как $2^n \cdot 2^2$:
$ (3^n \cdot 3^2 + 3^n) - (2^n \cdot 2^2 + 2^n) $

Вычислим квадраты:
$ (9 \cdot 3^n + 3^n) - (4 \cdot 2^n + 2^n) $

Теперь вынесем общие множители $3^n$ и $2^n$ за скобки:
$ 3^n(9 + 1) - 2^n(4 + 1) $

Выполним сложение в скобках:
$ 10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n $

Рассмотрим полученное выражение. Первое слагаемое, $10 \cdot 3^n$, очевидно, делится на 10, так как содержит множитель 10.

Рассмотрим второе слагаемое, $5 \cdot 2^n$. Поскольку n — натуральное число, то $n \ge 1$. Мы можем переписать это слагаемое следующим образом:
$ 5 \cdot 2^n = 5 \cdot 2 \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1} $

Так как $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$, и $2^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $10 \cdot 2^{n-1}$ также делится на 10.

Исходное выражение представляет собой разность двух слагаемых ($10 \cdot 3^n$ и $10 \cdot 2^{n-1}$), каждое из которых делится на 10. Разность чисел, делящихся на 10, также делится на 10.
Можно вынести общий множитель 10 за скобку:
$ 10 \cdot 3^n - 10 \cdot 2^{n-1} = 10(3^n - 2^{n-1}) $

Поскольку $n$ — натуральное число, $3^n$ и $2^{n-1}$ являются целыми числами, и их разность $(3^n - 2^{n-1})$ тоже является целым числом. Таким образом, все выражение представляет собой произведение числа 10 на целое число, а значит, оно делится на 10 при любом натуральном n.

Ответ: Утверждение доказано.