Номер 604, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Разложение многочленов на множители. Метод группировки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 604, страница 103.

Условие.

604. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на 6.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что выражение $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на 6 при всех натуральных значениях $n$, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Разложение на множители

Рассмотрим данное выражение $P(n) = n^3 + 3n^2 + 2n$.

Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$P(n) = n(n^2 + 3n + 2)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $n^2 + 3n + 2$. Для этого найдем корни уравнения $n^2 + 3n + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $n_1 = -1$ и $n_2 = -2$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно представить в виде произведения:

$n^2 + 3n + 2 = (n - (-1))(n - (-2)) = (n+1)(n+2)$

Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$P(n) = n(n+1)(n+2)$

Полученное выражение представляет собой произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел всегда есть хотя бы одно четное число (то есть делящееся на 2) и ровно одно число, которое делится на 3. Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, их произведение $n(n+1)(n+2)$ будет делиться на $2 \times 3 = 6$.

Таким образом, доказано, что значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Способ 2: Метод математической индукции

Пусть $A(n) = n^3 + 3n^2 + 2n$. Нам нужно доказать, что $A(n)$ делится на 6 для всех натуральных $n$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

$A(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 3 + 2 = 6$.

Число 6 делится на 6. Утверждение верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, $A(k) = k^3 + 3k^2 + 2k$ делится на 6. Это означает, что существует целое число $m$, такое что $k^3 + 3k^2 + 2k = 6m$.

3. Индукционный шаг.

Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$. Рассмотрим выражение $A(k+1)$:

$A(k+1) = (k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)$

Раскроем скобки:

$A(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + (2k + 2)$

$A(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить выражение $A(k)$:

$A(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)$

Первое слагаемое, $(k^3 + 3k^2 + 2k)$, делится на 6 по нашему индукционному предположению.

Рассмотрим второе слагаемое: $3k^2 + 9k + 6$. Вынесем 3 за скобки:

$3k^2 + 9k + 6 = 3(k^2 + 3k + 2)$

Как было показано в первом способе, $k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2)$.

Таким образом, второе слагаемое равно $3(k+1)(k+2)$. Выражение $(k+1)(k+2)$ является произведением двух последовательных целых чисел, одно из которых обязательно четное, поэтому их произведение делится на 2. Пусть $(k+1)(k+2) = 2p$ для некоторого целого $p$.

Тогда второе слагаемое равно $3 \cdot (2p) = 6p$, что означает, что оно делится на 6.

Итак, $A(k+1)$ представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 6. Следовательно, их сумма $A(k+1)$ также делится на 6.

По принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Было доказано, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 + 3n^2 + 2n$ делится нацело на 6, так как оно может быть представлено в виде произведения трех последовательных чисел $n(n+1)(n+2)$, которое всегда делится на 2 и на 3, а следовательно, и на 6.