Вопрос, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - страница 82.

Условие.

Как умножить одночлен на многочлен?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо применить распределительное свойство умножения относительно сложения. Суть этого свойства заключается в том, что нужно умножить данный одночлен на каждый из членов многочлена и полученные произведения алгебраически сложить (то есть сложить с учётом их знаков).

Правило умножения

Произведение одночлена на многочлен равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена на каждый из членов исходного многочлена.

В общем виде это правило можно записать формулой:

$A \cdot (B + C - D) = A \cdot B + A \cdot C - A \cdot D$

где $A$ — одночлен, а $(B + C - D)$ — многочлен.

Алгоритм действий

1. Запишите одночлен, а за ним в скобках — многочлен.
2. Последовательно умножьте одночлен на каждый член многочлена. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются, а коэффициенты перемножаются. Внимательно следите за знаками.
3. Запишите полученные произведения в виде суммы (или разности, в зависимости от знаков).
4. Если в результате получились подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью), приведите их.

Пример решения

Выполним умножение одночлена $-3x^2y$ на многочлен $(4x^3 - 7xy^2 + 2)$.

1. Записываем произведение:

$-3x^2y \cdot (4x^3 - 7xy^2 + 2)$

2. Умножаем одночлен $-3x^2y$ на каждый член многочлена в скобках:

$(-3x^2y) \cdot (4x^3) + (-3x^2y) \cdot (-7xy^2) + (-3x^2y) \cdot (2)$

3. Вычисляем каждое произведение отдельно:

• Первое произведение: $(-3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot y = -12x^{2+3}y = -12x^5y$
• Второе произведение: $(-3 \cdot -7) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^2) = 21x^{2+1}y^{1+2} = 21x^3y^3$
• Третье произведение: $(-3 \cdot 2) \cdot x^2y = -6x^2y$

4. Складываем полученные результаты. Так как подобных слагаемых нет, просто записываем их сумму:

$-12x^5y + 21x^3y^3 - 6x^2y$

Ответ: $-12x^5y + 21x^3y^3 - 6x^2y$