Номер 461, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 461, страница 83.

Условие.

461. Выполните умножение:

1) $3x(4x^2 - x);$

2) $-5a^2(a^2 - 6a - 3);$

3) $(8b^2 - 10b + 2) \cdot 0,5b;$

4) $x^3(x^5 - x^2 + 7x - 1);$

5) $-2c^2d^4(4c^2 - c^3d + 5d^4);$

6) $(5m^3n - 8mn^2 - 2n^6) \cdot (-4m^2n^8).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы умножить одночлен $3x$ на многочлен $(4x^2 - x)$, мы применяем распределительный закон: умножаем одночлен на каждый член многочлена и затем складываем результаты.

$3x(4x^2 - x) = (3x \cdot 4x^2) - (3x \cdot x)$

Выполняем умножение для каждого слагаемого:

Первый член: $3x \cdot 4x^2 = (3 \cdot 4) \cdot (x^1 \cdot x^2) = 12x^{1+2} = 12x^3$.

Второй член: $3x \cdot x = 3x^1 \cdot x^1 = 3x^{1+1} = 3x^2$.

Объединяем результаты: $12x^3 - 3x^2$.

Ответ: $12x^3 - 3x^2$

2) Умножим одночлен $-5a^2$ на каждый член многочлена $(a^2 - 6a - 3)$ по распределительному закону.

$-5a^2(a^2 - 6a - 3) = (-5a^2 \cdot a^2) - (-5a^2 \cdot 6a) - (-5a^2 \cdot 3)$

Выполняем умножение для каждого слагаемого:

Первый член: $-5a^2 \cdot a^2 = -5a^{2+2} = -5a^4$.

Второй член: $-5a^2 \cdot (-6a) = (-5 \cdot -6) \cdot (a^2 \cdot a) = 30a^{2+1} = 30a^3$.

Третий член: $-5a^2 \cdot (-3) = (-5 \cdot -3) \cdot a^2 = 15a^2$.

Складываем полученные выражения: $-5a^4 + 30a^3 + 15a^2$.

Ответ: $-5a^4 + 30a^3 + 15a^2$

3) Умножим каждый член многочлена $(8b^2 - 10b + 2)$ на одночлен $0,5b$.

$(8b^2 - 10b + 2) \cdot 0,5b = (8b^2 \cdot 0,5b) - (10b \cdot 0,5b) + (2 \cdot 0,5b)$

Выполняем умножение для каждого слагаемого:

Первый член: $8b^2 \cdot 0,5b = (8 \cdot 0,5) \cdot (b^2 \cdot b) = 4b^3$.

Второй член: $-10b \cdot 0,5b = (-10 \cdot 0,5) \cdot (b \cdot b) = -5b^2$.

Третий член: $2 \cdot 0,5b = (2 \cdot 0,5) \cdot b = 1b = b$.

Собираем результат: $4b^3 - 5b^2 + b$.

Ответ: $4b^3 - 5b^2 + b$

4) Применим распределительный закон для умножения одночлена $x^3$ на многочлен $(x^5 - x^2 + 7x - 1)$.

$x^3(x^5 - x^2 + 7x - 1) = (x^3 \cdot x^5) - (x^3 \cdot x^2) + (x^3 \cdot 7x) - (x^3 \cdot 1)$

Выполняем умножение для каждого слагаемого, помня, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

Первый член: $x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8$.

Второй член: $-x^3 \cdot x^2 = -x^{3+2} = -x^5$.

Третий член: $x^3 \cdot 7x = 7x^{3+1} = 7x^4$.

Четвертый член: $-x^3 \cdot 1 = -x^3$.

Объединяем все члены: $x^8 - x^5 + 7x^4 - x^3$.

Ответ: $x^8 - x^5 + 7x^4 - x^3$

5) Умножим одночлен $-2c^2d^4$ на каждый член многочлена $(4c^2 - c^3d + 5d^4)$.

$-2c^2d^4(4c^2 - c^3d + 5d^4) = (-2c^2d^4 \cdot 4c^2) - (-2c^2d^4 \cdot c^3d) + (-2c^2d^4 \cdot 5d^4)$

Вычисляем каждое произведение:

Первый член: $-2c^2d^4 \cdot 4c^2 = (-2 \cdot 4) \cdot (c^2 \cdot c^2) \cdot d^4 = -8c^4d^4$.

Второй член: $-2c^2d^4 \cdot (-c^3d) = (-2 \cdot -1) \cdot (c^2 \cdot c^3) \cdot (d^4 \cdot d) = 2c^5d^5$.

Третий член: $-2c^2d^4 \cdot 5d^4 = (-2 \cdot 5) \cdot c^2 \cdot (d^4 \cdot d^4) = -10c^2d^8$.

Складываем результаты и для удобства располагаем в порядке убывания степени переменной $c$: $2c^5d^5 - 8c^4d^4 - 10c^2d^8$.

Ответ: $2c^5d^5 - 8c^4d^4 - 10c^2d^8$

6) Умножим каждый член многочлена $(5m^3n - 8mn^2 - 2n^6)$ на одночлен $(-4m^2n^8)$.

$(5m^3n - 8mn^2 - 2n^6) \cdot (-4m^2n^8) = (5m^3n \cdot (-4m^2n^8)) - (8mn^2 \cdot (-4m^2n^8)) - (2n^6 \cdot (-4m^2n^8))$

Вычисляем каждое произведение:

Первый член: $5m^3n \cdot (-4m^2n^8) = (5 \cdot -4) \cdot (m^3 \cdot m^2) \cdot (n^1 \cdot n^8) = -20m^5n^9$.

Второй член: $-8mn^2 \cdot (-4m^2n^8) = (-8 \cdot -4) \cdot (m^1 \cdot m^2) \cdot (n^2 \cdot n^8) = 32m^3n^{10}$.

Третий член: $-2n^6 \cdot (-4m^2n^8) = (-2 \cdot -4) \cdot m^2 \cdot (n^6 \cdot n^8) = 8m^2n^{14}$.

Собираем итоговое выражение: $-20m^5n^9 + 32m^3n^{10} + 8m^2n^{14}$.

Ответ: $-20m^5n^9 + 32m^3n^{10} + 8m^2n^{14}$