Номер 482, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 482, страница 85.

Условие.

482. Докажите, что при любых значениях $x$ значение выражения $4(x^2 - 2x + 4) - 0,5x(6x - 16)$ является положительным числом.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения является положительным при любых значениях $x$, необходимо сначала упростить это выражение.

Исходное выражение: $4(x^2 - 2x + 4) - 0,5x(6x - 16)$.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим множитель перед каждой скобкой на каждый член внутри скобок.

$4(x^2 - 2x + 4) = 4 \cdot x^2 + 4 \cdot (-2x) + 4 \cdot 4 = 4x^2 - 8x + 16$

$-0,5x(6x - 16) = (-0,5x) \cdot 6x + (-0,5x) \cdot (-16) = -3x^2 + 8x$

2. Теперь сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 8x + 16) + (-3x^2 + 8x) = 4x^2 - 8x + 16 - 3x^2 + 8x$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$(4x^2 - 3x^2) + (-8x + 8x) + 16$

Выполним действия в скобках:

$x^2 + 0 + 16 = x^2 + 16$

3. Мы упростили исходное выражение до вида $x^2 + 16$. Теперь проанализируем его.

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \geq 0$ для любого $x$.

Наименьшее значение, которое может принимать слагаемое $x^2$, равно 0 (это происходит при $x=0$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $x^2 + 16$ будет равно $0 + 16 = 16$.

Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство: $x^2 + 16 \geq 16$.

Поскольку $16$ — это положительное число ($16 > 0$), то и значение всего выражения всегда будет положительным.

Ответ: Выражение $4(x^2 - 2x + 4) - 0,5x(6x - 16)$ после упрощения равно $x^2 + 16$. Так как $x^2 \geq 0$ для любого $x$, то $x^2 + 16 \geq 16$, что больше нуля. Следовательно, значение выражения всегда положительно, что и требовалось доказать.